Fonones

En las secciones anteriores se ha discutido como las vibraciones cuánticas en el sólido son la solución del problema de los modos normales:

(449)\[ \left(\hat{T}_n + E_i(\{\vec{R}\})\right)\Psi_n^{\gamma}\approx \sum_{\alpha} \left(\frac{\hbar^2}{2} \frac{d^2}{dQ_\alpha^2}+\frac{1}{2}K_\alpha Q_\alpha^2\right)\Psi_n^{\gamma} = E_{i,\gamma}\Psi_n^{\gamma}\]

Su función de onda es un producto de las soluciones de cada uno de los osciladores armónicos independientes,

(450)\[\Psi_n^{\gamma}=\prod_{\alpha} \chi_\alpha (Q_\alpha) \Rightarrow \chi_\alpha \rightarrow \chi_{a\vec{k}}.\]

Las funciones de onda de cada oscilador, a su vez, se caracterizan por dos números cuánticos:

-Vector de ondas \(\vec{k}\) (o \(\vec{q}\)): Como hemos visto, según el teorema de Bloch, debido a la simetría de traslación en el cristal las vibraciones vienen caracterizadas por su vector de ondas, que se corresponde con una posición del espacio recíproco \(\vec{k}\).

-Índice de banda (a): Además de su vector de ondas cada banda vibracional se identifica con un índice que indica como de energética es esa banda dentro de su punto del espacio recíproco.

La descripción de los fonones que emerge aquí es muy similar a la descripción cuántica de la luz (ver Ref. [13]) que también usa modos de oscilador armónico para describir los diferentes estados del campo electromagnético. De este modo las partículas asociadas al campo electromagnético, los fotones (del griego photos, luz) tienen un equivalente en el sólido llamado fonón (del griego phoné, voz o sonido).

Propiedades de los fonones

Aunque existen muchas similitudes entre la idea de fotón y fonón, el símil no es totalmente correcto. Veamos donde los conceptos son semejantes y donde difieren.

-Bosones: Ambos tipos de excitación, el fotón y el fonón son bosones, es decir, se comportan como partículas indistinguibles y no tienen ningún límite a la ocupación de los niveles. Cuando se pueblan con la temperatura ambos siguen la estadística de Bose-Einstein,

(451)\[\langle n_{a\vec{k}} \rangle = \frac{1}{e^{\frac{\hbar\omega_{a\vec{k}}}{KT}}-1}.\]

-Números cuánticos: Tal y como se ha indicado más arriba los fonones se identifican mediante su vector de ondas \(\vec{k}\) y su índice de banda. Esto es similar a lo que ocurre en los fotones.

-Partícula independiente: La Ec. (449) nos permite describir los modos de vibración de un sólido como si fueran totalmente independientes unos de otros. Es importante que, para poder hacer esto, es necesario aplicar la aproximación armónica. En el momento que existen los modos anarmónicos no es posible separar las vibraciones como soluciones de osciladores independientes. Esto los diferencia, claramente, de los fotones, que son totalmente independientes.

-Momento lineal: Las partículas reales como el electrón o el fotón en mecánica cuántica transportan un momento lineal,

(452)\[\vec{p}=\hbar \vec{k}.\]

en la Fig. 252 puede verse como, en conjunto, los fonones con \(\vec{k}\neq 0\), no transportan masa y no tienen momento lineal cinético (\(\vec{p}=m\vec{v}\)).

Fig. 252 Cualquier modo de vibración del sólido con frecuencia finita (es decir todos menos los de traslación del sólido rígidamente) mantienen el centro de masa del mismo en un punto fijo. Por ello, no transportan masa ni se les puede asignar un momento lineal cinético bien definido.

Por tanto, el momento lineal del un fonón, \(\hbar\vec{k}\), se suele llamar quasimomento para diferenciarlo de lo que ocurre en las partículas reales, como el fotón. Este quasimomento es un momento lineal generalizado (el asociado a las teorías Lagrangianas o Hamiltonianas) y es fundamental a la hora de entender varias propiedades de conservación, como la ley de Bragg (ver Sec. Bragg y red recíproca y la Ec. (104)).

Problems and solution examples