Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales#

Las ecuaciones en derivadas parciales se caracterizan por tener funciones incógnita dependientes de varias variables, y por intervenir en la propia ecuación la función y sus derivadas parciales.

Obviamente, se trata de ecuaciones con una resolución más compleja, especialmente cuando intervienen derivadas de orden superior.

Existen algunos fenómenos físicos que se rigen por ecuaciones en derivadas parciales; entre ellas la ecuación de ondas o la del calor.

  • Ecuación de ondas: es una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. En el caso de trabajar en una sola dimensión, la ecuación sería

\[\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2}\]

donde \(f(x,t)\) depende de la posición y del tiempo.

  • Ecuación del calor: describe la distribución del calor, es decir, la variación de la temperatura, en una región a lo largo del transcurso del tiempo.

\[\frac{\partial T}{\partial t}- \alpha \left( \frac{\partial^2T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2T}{\partial z^2} \right)=0\]

donde \(T(t,x,y,z)\) determina la temperatura en un instante \(t\) en un punto \((x,y,z)\) del espacio.

En general, en la solución de una ecuación en derivadas parciales pueden intervenir tanto constantes arbitrarias como funciones arbitrarias.

Ejemplo:

Se desea determinar las funciones \(f(x,y)\) que cumplan la ecuación en derivadas parciales

\[\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=0\]

Integrando con respecto a la variable \(x\) se obtendría

\[\frac{\partial f}{\partial x}=G(y)\]

siendo \(G(y)\) una función arbitraria de \(y\). Con una segunda integración en la variable \(x\) se obtendría la forma general de la solución:

\[f(x,y)=\int G(y)dx = G(y)x+H(y)\]

donde \(H(y)\) es una nueva función arbitaria. En definitiva, la solución de la ecuación en derivadas parciales dependerá no de dos constantes arbitrarias, sino de dos funciones arbitrarias.

Ejemplo:

La solución general de la ecuación de ondas \(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2}\) es:

\[f(x,t)=F(x+vt)+G(x-vt)\]

donde \(F\) y \(G\) son dos funciones arbitarias de una variable. La determinación de esas funciones exigirá el planteamiento de unas condiciones iniciales y de contorno. Por ejemplo, condiciones del tipo \(f(x,t_0)=\phi(x)\).

Una solución particular de la ecuación de ondas es \(f(x,t)=3x^2-2xvt+3v^2t^2\), como puede comprobarse al calcular sus derivadas:

\[\frac{\partial f}{\partial x}=6x-2vt \Rightarrow \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6\]
\[\frac{\partial f}{\partial t}=-2xv+6v^2t \Rightarrow \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=6v^2\]

Por tanto

\[6=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\]

Esa solución \(f(x,t)=3x^2-2xvt+3v^2t^2\) se puede expresar en la forma \(F(x+vt)+G(x-vt)\):

\[f(x,t)=(x+vt)^2 + 2(x-vt)^2 = F(x+vt)+G(x-vt)\]

donde \(F(z)=z^2\) y \(G(z)=2z^2\)

Métodos de resolución de ecuaciones en derivadas parciales#

En general la resolución de una ecuación en derivadas parciales resulta un proceso más complejo que las ecuaciones diferenciales ordinarias. La mayoría de los métodos que se pueden utilizar se basan precisamente en transformar estas ecuaciones en ecuaciones diferenciales ordinarias o en alguna ecuación algebraica.

Entre los métodos posibles están:

  • Separación de variables: se basa en reducir la ecuación de \(n\) variables a \(n\) ecuaciones diferenciales ordinarias en las que interviene una sola variable en cada una.

  • Transformada integral: aplicar transformadas integrales para ir reduciendo el número de variables que intervienen en la ecuación.

  • Cambio de variables: para reducir la ecuación a otra más sencilla de resolver.

  • Método de perturbación: se aplica la teoría perturbacional para cambiar un problema no lineal en una serie de problemas lineales que se aproximan al original.

  • Expansión de autofunciones: obtención de soluciones como sumas infinitas de autofunciones calculadas resolviendo problemas de valor propio.

  • Ecuaciones integrales: reducción de la ecuación en derivadas parciales a una ecuación integral.

  • Métodos numéricos: aproximación de soluciones recurriendo a técnicas de discretización y algebráicas, por ejemplo mediante diferencias y elementos finitos. En muchos casos, estos métodos numéricos constituyen las únicas herramientas a utilizar para resolver ecuaciones en derivadas parciales complejas.

Método de separación de variables#

Una alternativa para resolver determinadas ecuaciones en derivadas parciales es asumir que la solución se puede expresar como suma o producto de funciones, una en cada variable, que son a su vez soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Por ejemplo, dada la ecuación

\[\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0\]

Si se buscan soluciones del tipo \(f(x,y)=\alpha(x)\beta(y)\), se tendría que cumplir

\[\frac{\partial}{\partial x}(\alpha(x)\beta(y))+\frac{\partial f}{\partial y}(\alpha(x)\beta(y))= \alpha'(x)\beta(y)+\alpha(x)\beta'(y)=0\]

Por tanto

\[\frac{\alpha'(x)}{\alpha(x)}=-\frac{\beta'(y)}{\beta(y)}\]

Al ser una igualdad entre dos expresiones, una que depende de la variable \(x\) y otra dependiendo de \(y\), la única posibilidad es que ambas expresiones sean en realidad iguales a una misma constante. En definitiva, se tendrían dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

\[\begin{split}\begin{array}{l} \frac{\alpha'(x)}{\alpha(x)}=C \Rightarrow \alpha'(x) - C\alpha(x)=0\\ -\frac{\beta'(y)}{\beta(y)}=C \Rightarrow \beta'(y) + C\beta(y)=0 \end{array}\end{split}\]

Resolviendo esas dos ecuaciones se obtiene:

\[\begin{split}\begin{array}{l} \alpha(x)= A e^{Cx}\\ \beta(y)= B e^{-Cy} \end{array}\end{split}\]

siendo \(A\), \(B\) y \(C\) constantes arbitrarias. En definitiva, la solución de la ecuación en derivadas parciales sería:

\[f(x,y)= A e^{Cx}B e^{-Cy} = K e^{C(x-y)}\]

siendo \(C\) y \(K\) dos constantes arbitrarias.

Realmente, la solución general de la ecuación dada es

\[f(x,y)=F(x-y)\]

donde \(F\) es una función arbitraria de una variable.

Resolución simbólica de ecuaciones en derivadas parciales con SymPy#

El paquete de cálculo simbólico SymPy de Python puede resolver de manera simbólica algunas ecuaciones en derivadas parciales básicas. Para ello se utiliza la función pdsolve(), aunque es bastante limitada en relación al tipo de ecuaciones que puede resolver de forma analítica. De entrada, únicamente resuelve ecuaciones de primer orden.

https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/pde.html

A continuación se muestran algunos ejemplos.

Ejemplo:

La solución general de la ecuación \(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0\) es

import sympy as sp
x,y = sp.symbols('x,y')
f = sp.Function('f')
sp.pdsolve(f(x,y).diff(x) + f(x,y).diff(y))
\[\displaystyle f{\left(x,y \right)} = F{\left(x - y \right)}\]

Ejemplo:

La solución general de la ecuación lineal \(4\frac{\partial f}{\partial x}=3\frac{\partial f}{\partial y}\) es

x,y = sp.symbols('x,y')
f = sp.Function('f')
ecuacion = sp.Eq(4*f(x,y).diff(x), 3*f(x,y).diff(y))
ecuacion
\[\displaystyle 4 \frac{\partial}{\partial x} f{\left(x,y \right)} = 3 \frac{\partial}{\partial y} f{\left(x,y \right)}\]
sp.pdsolve(ecuacion)
\[\displaystyle f{\left(x,y \right)} = F{\left(- 3 x - 4 y \right)}\]

Ejemplo:

La solución general de la ecuación \(f+\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0\) es

x,y = sp.symbols('x,y')
f = sp.Function('f')
sp.pdsolve(f(x,y) + f(x,y).diff(x) + f(x,y).diff(y))
\[\displaystyle f{\left(x,y \right)} = F{\left(x - y \right)} e^{- \frac{x}{2} - \frac{y}{2}}\]

Ejemplo:

La solución general de la ecuación \(\frac{2}{f}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{3}{f}\frac{\partial f}{\partial y}=1\) es

x,y = sp.symbols('x,y')
f = sp.Function('f')
u = f(x,y)
ux = u.diff(x)
uy = u.diff(y)
ecuacion = sp.Eq((2/u)*ux + (3/u)*uy, 1)
ecuacion
\[\displaystyle \frac{2 \frac{\partial}{\partial x} f{\left(x,y \right)}}{f{\left(x,y \right)}} + \frac{3 \frac{\partial}{\partial y} f{\left(x,y \right)}}{f{\left(x,y \right)}} = 1\]
sp.pdsolve(ecuacion)
\[\displaystyle f{\left(x,y \right)} = F{\left(3 x - 2 y \right)} e^{\frac{2 x}{13} + \frac{3 y}{13}}\]

Ejemplo:

La solución general de la ecuación \(x^2\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=0\) es

x,y = sp.symbols('x,y')
f = sp.Function('f')
sp.pdsolve(x**2*f(x,y).diff(x) + y*f(x,y).diff(y))
\[\displaystyle f{\left(x,y \right)} = F{\left(y e^{\frac{1}{x}} \right)}\]

Ejemplo:

La solución general de la ecuación \( 5f-2\frac{\partial f}{\partial x}+4\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x+3y}\) es

x,y = sp.symbols('x,y')
f = sp.Function('f')
ecuacion = sp.Eq(5*f(x,y)-2*f(x,y).diff(x) + 4*f(x,y).diff(y), sp.exp(x+3*y))
sp.pdsolve(ecuacion)
\[\displaystyle f{\left(x,y \right)} = \left(F{\left(4 x + 2 y \right)} e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{x + 4 y}}{15}\right) e^{- y}\]