Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes#

La resolución de ecuaciones diferenciales de orden dos o superior resulta normalmente más compleja, en este caso se van a analizar un tipo de ecuaciones diferenciales de orden superior que son factibles de resolver mediante técnicas basadas en el cálculo de raíces de polinomios: se trata de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Las ecuaciones lineales con coeficientes constantes son en el fondo equivalentes a un conjunto de ecuaciones de primer orden con diferentes funciones incógnita, por lo que se estudiará también los métodos de resolución de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuación diferencial lineal de orden n:

La forma general de las ecuaciones diferenciales lineales de orden \(n\) es la siguiente:

\[ a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_{1}(x)\frac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x)\]

Si los coeficientes (\(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\)) son constantes, esta ecuación se llama ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, en caso contrario se llama ecuación diferencial lineal de coeficientes variables (los coeficientes serían funciones funciones que dependen de \(x\)). Cuando la función \(g(x)\) es nula, es decir, \(g(x)=0\), la ecuación se dice homogénea.

Por su facilidad de resolución, se limitará el estudio a las ecuaciones con coeficientes constantes. Dada una ecuación

\[a_{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_{1}\frac{dy}{dx} + a_{0}y = g(x)\]

su solución general se expresará como suma de:

  • Solución general de la ecuación homogénea asociada

  • Una solución particular de la ecuación completa

Por tanto

\[y=y_H+y_p\]

donde \(y_H\) es la solución general de la ecuación

\[a_{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_{1}\frac{dy}{dx} + a_{0}y = 0\]

e \(y_p\) cumple

\[a_{n}\frac{d^{n}y_p}{dx^{n}} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y_p}{dx^{n-1}} + \dots + a_{1}\frac{dy_p}{dx} + a_{0}(x)y_p = g(x)\]

Aunque en las próximas secciones se analiza el proceso de obtención de la solución general de la ecuación homogénea y de la particular de la ecuación completa, con ayuda de Python pueden resolverse ya algunas de estas ecuaciones y comprobar que la solución general va a depender de tantas constantes arbitrarias como el orden de la ecuación.

Ejemplo: La solución general de la ecuación homogenea de orden 2

\[y''+y=0\]

es

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
y = sp.Function('y')
ecuacion = sp.Eq(y(x).diff(x,2) + y(x), 0)
sp.dsolve(ecuacion)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}\]

Si a la ecuación se le incluye un término no homogéneo, la solución general cambia ligeramente. Por ejemplo, la solución de

\[y''+y=x\,e^x\]

es

ecuacion = sp.Eq(y(x).diff(x,2) + y(x), x*sp.exp(x))
sp.dsolve(ecuacion)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)} + \frac{x e^{x}}{2} - \frac{e^{x}}{2}\]

Ejemplo:

La solución general de la ecuación completa de orden 2

\[y''+2y'=4x+8\]

es

ecuacion = sp.Eq(y(x).diff(x,2) + 2*y(x).diff(x), 4*x + 8)
sp.dsolve(ecuacion)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} e^{- 2 x} + x^{2} + 3 x\]

Ejemplo:

En este nuevo ejemplo se considera una ecuación lineal de orden 4:

\[y^{iv}-3y'''+3y''-3y'+2y=0\]

Su solución es:

ecuacion = sp.Eq(y(x).diff(x,4) - 3*y(x).diff(x,3) + 3*y(x).diff(x,2) -3*y(x).diff(x) + 2*y(x), 0)
sp.dsolve(ecuacion)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} + C_{3} \sin{\left(x \right)} + C_{4} \cos{\left(x \right)}\]

El problema de valor inicial en ecuaciones de orden superior#

Como se ha visto en los ejemplos anteriores, la solución general de una ecuación de orden n depende de n constantes arbitrarias. Si se quieren determinar los valores de esas constantes, debe darse un conjunto de condiciones iniciales para determinar la solución particular que las cumpla. Lo habitual es proporcionar la información del valor de la función y sus derivadas en un punto \(x_0\). Así el problema de valor inicial para una ecuación lineal de orden \(n\) sería:

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{l} a_{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_{1}\frac{dy}{dx} + a_{0}y = g(x)\\ y(x_0)=y_0 \\ y'(x_0)=y_1 \\ y''(x_0)=y_2 \\ \vdots \\ y^{(n-1}(x_0)=y_{n-1} \end{array} \right.\end{split}\]

Ejemplo:

La solución del problema de valor inicial

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{l} y'' + \frac{y}{5} + \frac{0.4}{5}y' = 0 \\ y(0)=0 \\ y'(0)=1 \end{array} \right.\end{split}\]

podría calcularse usando la opción ics de la función dsolve() de resolución de la ecuación:

ecuacion = sp.Eq(y(x).diff(x,2) + y(x)/5 + 0.4*y(x).diff(x)/5, 0)
condiciones = {y(0):0, y(x).diff(x).subs(x,0):1}
sp.dsolve(ecuacion, ics=condiciones)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = 2.24506627533468 e^{- 0.04 x} \sin{\left(0.445421149026402 x \right)}\]

Ejemplo:

En la ecuación lineal de orden 4:

\[y^{iv}-3y'''+3y''-3y'+2y=0\]

si se imponen las condiciones

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{l} y(0)=1 \\ y'(0)=2 \\ y''(0)=1 \\ y'''(0)=-1 \end{array} \right.\end{split}\]

la solución del problema de valor inicial sería:

ecuacion = sp.Eq(y(x).diff(x,4) - 3*y(x).diff(x,3) + 3*y(x).diff(x,2) -3*y(x).diff(x) + 2*y(x), 0)
condiciones = {y(0):1, 
               y(x).diff(x).subs(x,0):2,
               y(x).diff(x,2).subs(x,0):1,
               y(x).diff(x,3).subs(x,0):-1}
sp.dsolve(ecuacion, ics=condiciones)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = - \frac{e^{2 x}}{5} + \frac{3 e^{x}}{2} + \frac{9 \sin{\left(x \right)}}{10} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{10}\]

Solución general de la ecuación homogénea#

Tras la resolución de diferentes ecuaciones con ayuda de Python, el análisis se centra en entender los métodos analíticos que permiten llegar a encontrar la solución general de una ecuación lineal con coeficientes constantes.

En primer lugar se analiza el caso más sencillo: ecuaciones homogéneas:

\[a_{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_{1}\frac{dy}{dx} + a_{0}y = 0\]

Encontrar la solución general de una ecuación lineal homogénea de grado \(n\) implica calcular un sistema fundamental de soluciones, es decir un conjunto de \(n\) soluciones linealmente independientes. Una vez encontrado ese sistema fundamental de soluciones \(\{y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)\}\) la solución general de la ecuación será

\[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\dots+c_ny_n(x)\]

donde \(c_1,c_2,\dots,c_n\) son constantes arbitrarias.

Para calcular un sistema fundamental de soluciones, y por tanto la solución general de la ecuación, se construye en primer lugar el denominado polinomio característico de la ecuación:

\[a_{n}\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_{1}\lambda+a_{0}\]

A continuación deben calcularse las raíces del polinomio característico, es decir los valores de \(\lambda\) que hacen que \(a_{n}\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_{1}\lambda+a_{0}=0\), pudiéndose dar varias situaciones:

  • Todas las raíces son reales y diferentes.

  • Todas las raíces son reales pero algunas son múltiples.

  • Existen raíces complejas simples, pero en este caso siempre por parejas (son raíces tanto el propio número complejo como su conjugado).

  • Existen raíces complejas múltiples.

Si \(\lambda\) es una raíz del polinomio característico, se puede comprobar que \(y=e^{\lambda x}\) es una solución de la ecuación homogénea. En general, en el caso más simple, si el polinomio característico tiene \(n\) raíces reales distintas: \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\) entonces se pueden generar \(n\) soluciones linealmente independientes de la forma

\[\begin{split}\begin{array}{l} y_{1} = e^{\lambda_{1}x}\\ y_{2} = e^{\lambda_{2}x}\\ \vdots \\ y_{n} = e^{\lambda_{n}x} \end{array}\end{split}\]

Finalmente considerando \(n\) constantes arbitrarias se obtendría la solución general de la ecuación como combinación lineal de las soluciones anteriores. Es decir:

\[ Y_{H} = c_{1}e^{\lambda_{1}x} + c_{2}e^{\lambda_{2}x} + \cdots + c_{n}e^{\lambda_{n}x} \]

En el caso de que una raíz \(\lambda\) sea real pero múltiple, con multiplicidad \(k\), entonces a partir de esa única raíz pueden generarse \(k\) soluciones linealmente independientes:

\[\begin{split}\begin{array}{l} y_{1} = e^{\lambda_{1}x}\\ y_{2} = xe^{\lambda_{2}x}\\ \vdots \\ y_{k} = x^{k-1}e^{\lambda_{k}x} \end{array}\end{split}\]

Estas \(k\) soluciones combinadas linealmente con las soluciones obtenidas a partir de las restantes raíces generarían la solución general de la ecuación homogénea.

Puede ocurrir que dentro de las raíces de la ecuación características aparezcan dos raíces complejas conjugadas

\[\lambda=a+bi\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\bar{\lambda}=a-bi\]

En ese caso, si se tiene en cuenta que

\[e^{(a+bi)x}=e^{ax}e^{(bxi}=e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx))\]

de esa pareja de raíces se obtendrían dos soluciones de la ecuación linealmente independientes extrayendo la parte real y la parte imaginaria de las expresión anterior:

\[\begin{split}\begin{array}{l} y_{1} = e^{ax}\cos{(bx)}\\ y_{2} = e^{ax}\sin{(bx)} \end{array}\end{split}\]

que de nuevo se combinarían con las obtenidas del resto de raíces.

Finalmente, en el caso de que las raíces complejas conjugadas fuesen múltiples, con multiplicidad \(k\), se obtendrían \(2k\) soluciones independientes de la forma:

\[\begin{split}\begin{array} y_{1} = e^{ax}\cos{(bx)}\\ y_{2} = xe^{ax}\cos{(bx)}\\ \vdots \\ y_{k} = x^{k-1}e^{ax}\cos{(bx)}\\ y_{k+1} = e^{ax}\sin{(bx)}\\ y_{k+2} = xe^{ax}\sin{(bx)}\\ \vdots \\ y_{2k} = x^{k-1}e^{ax}\sin{(bx)} \end{array}\end{split}\]

Con estas reglas generales, se puede obtener la solución general de cualquier ecuación lineal homogénea a partir de las raices de su ecuación característica. Esta solución general será la combinación, con \(n\) constantes arbitrarias, de \(n\) soluciones linealmente independientes.

En definitiva, la resolución de ecuaciones lineales homogéneas se reduce al cálculo de raíces de polinomios de grado \(n\). Para \(n=2\) esa tarea es sencilla, pero para \(n>2\) puede ser complicado la obtención de esas raíces. La regla de Ruffini puede ayudar en ese proceso.

Python también tiene funciones para calcular raíces de polinomios, tanto en modo simbólico (función solve() del paquete SymPy) como numérico (función roots() del paquete Numpy).

Ejemplo:

Dada la ecuación diferencial

\[y''-3y'+2y=0\]

su polinomio característico es \(\lambda^2-3\lambda+2\), cuyas raíces son \(\lambda_1=1\) y \(\lambda_2=2\), por lo que la solución general de la ecuación es

\[y=c_1e^{x}+c_2e^{2x}\]

siendo \(c_1\) y \(c_2\) dos constantes arbitrarias.

Las dos formas de obtener las raíces del polinomio característico con Python son:

import sympy as sp
L = sp.symbols('L')
sp.solve(L**2-3*L+2, L)

[1, 2]

import numpy as np
coef = [1, -3, 2]
np.roots(coef)

array([2., 1.])

Ejemplo:

En la ecuación diferencial

\[y''-2y'+2y=0\]

las raíces del polinomio característico son dos números complejos conjugados: \(\lambda_1=1+i\) y \(\lambda_2=1-i\):

coef = [1, -2, 2]
np.roots(coef)

array([1.+1.j, 1.-1.j])

Entonces el sistema fundamental de soluciones está formado por

\[\begin{split}\begin{array}{l} y_1 = e^x\cos x \\ y_2 = e^x\sin x \end{array}\end{split}\]

Por tanto, la solución general de la ecuación es

\[y=c_1e^x\cos x+c_2e^x\sin x\]

siendo \(c_1\) y \(c_2\) dos constantes arbitrarias.

Ejemplo:

El polinomio característico de la ecuación diferencial

\[y'''-5y''+8y'-6y=0\]

tiene las raíces \(\lambda_1=3\), \(\lambda_2=1+i\) y \(\lambda_3=1-i\), por lo que la solución general de la ecuación es

\[y=c_1e^{3x}+c_2e^x\cos x+c_3e^x\sin x\]

siendo \(c_1\), \(c_2\) y \(c_3\) constantes arbitrarias.

coef = [1, -5, 8, -6]
np.roots(coef)

array([3.+0.j, 1.+1.j, 1.-1.j])
A continuación se muestran ejemplos en los que el polinomio característico de la ecuación tiene raíces múltiples.

Ejemplo:

Dada la ecuación diferencial

\[y^{v}+4y^{iv}+6y'''+4y''+y'=0\]

su polinomio característico tiene una raíz simple \(\lambda_1=0\) y otra raíz \(\lambda_2=-1\) con multiplicidad 4:

coef = [1, 4, 6, 4, 1, 0]
np.roots(coef)

array([-1.00021255+0.j        , -0.99999998+0.00021254j,
       -0.99999998-0.00021254j, -0.99978748+0.j        ,
        0.        +0.j        ])

El sistema fundamental de soluciones está formado por:

\[\begin{split}\begin{array}{l} y_1 = e^0=1\\ y_2 = e^{-x} \\ y_3 = xe^{-x} \\ y_4 = x^2e^{-x} \\ y_5 = x^3e^{-x} \end{array}\end{split}\]

siendo la solución general de la ecuación

\[y=c_1+c_2e^{-x}+c_3xe^{-x}+c_4x^2e^{-x}+c_5x^3e^{-x}\]

interviniendo en este caso cinco constantes arbitrarias.

Ejemplo:

Para la ecuación diferencial

\[y^{v}-4y^{iv}+8y'''-8y''+4y'=0\]

el polinomio característico puede ser factorizado en la forma

\[\lambda(\lambda^2-2\lambda+2)^2\]

por lo que tiene una raíz real simple \(\lambda_1=0\) y dos raíces complejas conjugadas dobles \(\lambda_2=1+i\) y \(\lambda_3=1-i\). El sistema fundamental de soluciones es:

\[\begin{split}\begin{array}{l} y_1 = 1\\ y_2 = e^{x}\cos x \\ y_3 = xe^{x}\cos x \\ y_4 = e^{x}\sin x \\ y_5 = xe^{x}\sin x \end{array}\end{split}\]

y la solución general de la ecuación

\[y=c_1+e^x\left[ (c_2+c_3x)\cos x + (c_4+c_5x)\sin x \right]\]

interviniendo de nuevo tantas constantes arbitrarias como el orden de la ecuación.

Las raíces del polinomio característico podrían calcularse con el siguiente código Python:

coef = [1, -4, 8, -8, 4, 0]
np.roots(coef)

array([1.+1.00000002j, 1.-1.00000002j, 1.+0.99999998j, 1.-0.99999998j,
       0.+0.j        ])

A continuación se incluye la resolución simbólica con Python de las ecuaciones diferenciales homogéneas de estos últimos ejemplos:

\[y''-3y'+2y=0\]
\[y''-2y'+2y=0\]
\[y'''-5y''+8y'-6y=0\]
\[y^{v}-4y^{iv}+8y'''-8y''+4y'=0\]
ec1 = sp.Eq(y(x).diff(x,2) - 3*y(x).diff(x) + 2*y(x), 0)
sp.dsolve(ec1)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} e^{x}\right) e^{x}\]
ec2 = sp.Eq(y(x).diff(x,2) - 2*y(x).diff(x) + 2*y(x), 0)
sp.dsolve(ec2)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}\]
ec3 = sp.Eq(y(x).diff(x,3) - 5*y(x).diff(x,2) + 8*y(x).diff(x) - 6*y(x), 0)
sp.dsolve(ec3)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = \left(C_{1} e^{2 x} + C_{2} \sin{\left(x \right)} + C_{3} \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}\]
ec1 = sp.Eq(y(x).diff(x,5) - 4*y(x).diff(x,4) + 8*y(x).diff(x,3) - 8*y(x).diff(x,2) + 4*y(x).diff(x), 0)
sp.dsolve(ec1)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{1} + \left(\left(C_{2} + C_{3} x\right) \sin{\left(x \right)} + \left(C_{4} + C_{5} x\right) \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}\]

Obtención de soluciones particulares de ecuaciones lineales no homogéneas#

En el caso de ecuaciones diferenciales no homogéneas, se necesita encontrar una solución particular que, sumada a la solución general de la ecuación homogénea asociada, conduce a la solución general de la ecuación inicial.

Dada la ecuación

\[a_{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_{1}\frac{dy}{dx} + a_{0}y = g(x)\]

el proceso de construcción de esta solución particular, suele ser en general más complejo. Existen diferentes alternativas, como por ejemplo el método de variación de los parámetros, consistente en sustituir las constantes arbitrarias de la solución de la ecuación homogénea por funciones y tratar de encontrar la estructura de esas funciones para que lo que se obtenga sea una solución particular de la ecuación no homogénea. Sin embargo, cuando el término \(g(x)\) de la ecuación no homogénea presenta ciertas características, el proceso de construcción de la solución particular puede simplificarse utilizando el denominado método de los coeficientes indeterminados.

Básicamente este método lo que hace es sugerir la estructura de la solución particular a partir del tipo de función \(g(x)\) que aparece en la ecuación. Este método se podrá aplicar cuando la función \(g(x)\) esté formada por sumas de términos de la forma \(e^{ax}\), \(\sin bx\), \(\cos cx\) o \(p_k(x)\), siendo \(p_k(x)\) un polinomio de grado \(k\), o productos de funciones de los tipos anteriores.

A continuación se indican el tipo de soluciones particulares sugeridas por el método para distintos casos de funciones \(g(x)\)

Ecuaciones con \(g(x)\) de tipo polinómico#

Si \(g(x)=p_k(x)\), es decir, un polinomio de grado \(k\), se diferencian a su vez dos casos:

  • Si \(\lambda=0\) no es raíz del polinomio característico se buscaría una solución particular de la forma \(y_p=q_k(x)\), es decir un polinomio del mismo grado.

  • Si \(\lambda=0\) es una raíz con multiplicidad \(r\) del polinomio característico se buscaría una solución particular de la forma \(y_p=x^rq_k(x)\).

Ejemplo:

Dada la ecuación

\[y''+2y'+3y=6x+1\]

el término \(g(x)\) es un polinomio de grado 1, y además el polinomio característico no tiene a \(0\) como raíz, por tanto, se trataría de buscar una solución particular de la forma

\[y_p=Ax+B\]

Para que esta función sea solución particular se necesitaría que

\[0+2A+3(Ax+B)=6x+1\]

de donde, igualando los coeficientes de ambos polinomios, se debería cumplir

\[\begin{split}\begin{array}{l} 3A = 6 \\ 2A+3B = 1 \end{array}\end{split}\]

La solución de este sistema es \(A=2\) y \(B=-1\), por lo que la solución particular buscada sería:

\[y_p=2x-1\]

Teniendo en cuenta además que las raíces del polinomio característico de la ecuación son \(-1\pm\sqrt{2}i\), la solución general de la ecuación se obtiene sumando a la solución general de la ecuación homogénea la particular encontrada, es decir:

\[y=c_1e^{-x}\cos(\sqrt{2}x)+c_2e^{-x}\sin(\sqrt{2}x)+2x-1\]

Se comprueba con Python que efectivamente esa es la solución general de la ecuación:

ec = sp.Eq(y(x).diff(x,2) + 2*y(x).diff(x) + 3*y(x), 6*x + 1)
sp.dsolve(ec)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = 2 x + \left(C_{1} \sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + C_{2} \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) e^{- x} - 1\]

Ejemplo:

La ecuación

\[y''+2y'=4x+8\]

también tiene un término \(g(x)\) de tipo polinómico, pero en este caso \(0\) es una raíz simple del polinomio característico, por tanto, el tipo de solución particular a buscar es

\[y_p=x(Ax+B)\]

Utilizando el mismo procedimiento que en el caso anterior, se podría comprobar que para que esa función sea realmente una solución particular se tendría que cumplir \(A=1\) y \(B=3\), por lo que la solución particular sería

\[y_p=x^2+3x\]

Sumando esa solución particular a la solución general de la ecuación homogénea se obtendría la solución general de la ecuación:

\[y=c_1+c_2e^{-2x}+x^2+3x\]
ec = sp.Eq(y(x).diff(x,2) + 2*y(x).diff(x), 4*x + 8)
sp.dsolve(ec)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} e^{- 2 x} + x^{2} + 3 x\]

Ecuaciones con \(g(x)\) formada por productos de polinomios y funciones exponenciales#

Si \(g(x)=p_k(x)e^{ax}\), es decir, un polinomio de grado \(k\) multiplicado por una función exponencial, de nuevo hay que diferenciar si el valor \(a\) es o no raíz de la ecuación característica. En general, si \(a\) es raíz con multiplicidad \(r\), se probaría a buscar una solución particular de la forma:

\[q_k(x)x^re^{ax}\]

En el caso de que \(a\) no sea raíz, se asume entonces que \(r=0\).

Ejemplo:

Dada la ecuación diferencial

\[y''-3y'-4y=5e^{-x}\]

las raíces del polinomio característico son \(\lambda_1=-1\) y \(\lambda_2=4\), por lo que la solución de la ecuación homogénea es

\[y_h=c_1e^{-x}+c_2e^{4x}\]

Como el término \(g(x)\) es de la forma \(p_k(x)e^{ax}\), siendo en este caso \(k=0\) (polinomio de grado 0) y el valor \(a=-1\) coincide con una raíz simple del polinomio característico, se buscaría una solución particular de la forma:

\[y_p=Axe^{-x}\]

Las derivadas de esta solución particular serían

\[\begin{split}\begin{array}{l} y_p' = Ae^{-x}(1-x) \\ y_p''= Ae^{-x}(x-2) \end{array}\end{split}\]

Llevando todo esto a la ecuación inicial, se debería cumplir

\[Ae^{-x}\left[ (x-2)-3(1-x)-4x \right] = 5e^{-x}\]

y por tanto \(A=-1\). En definitiva, la solución general de la ecuación inicial es:

\[y=c_1e^{-x}+c_2e^{4x}-xe^{-x}\]
ec = sp.Eq(y(x).diff(x,2) - 3*y(x).diff(x) - 4*y(x), 5*sp.exp(-x))
sp.dsolve(ec)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{2} e^{4 x} + \left(C_{1} - x\right) e^{- x}\]

Ecuaciones con \(g(x)\) formada por productos de polinomios, funciones exponenciales y trigonométricas#

Si \(g(x)=p_{k_1}(x)e^{ax}\cos bx+p_{k_2}(x)e^{ax}\sin bx\), siendo \(p_{k_1}(x)\) y \(p_{k_2}(x)\) polinomios de grados respectivos \(k_1\) y \(k_2\), para buscar una solución particular se debe analizar previamente si \(a+bi\) es raíz del polinomio característico. Suponiendo que \(a+bi\) es raíz con multiplicidad \(r\) (\(r=0\) cuando no sea raíz), y que \(k=\max\{k_1,k_2\}\), se buscaría una solución particular de la forma:

\[x^re^{ax}\left[q_k(x)\cos bx + t_k(x)\sin bx\right]\]

donde \(q_k(x)\) y \(t_k(x)\) son dos polinomios de grado \(k\).

Ejemplo:

Para resolver la ecuación

\[y''-y=5e^x\sin x\]

en primer lugar deben calcularse las raíces del polinomio característico: \(\lambda^2-1=\), es decir \(\lambda_1=1\) y \(\lambda_2=-1\). Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea es

\[y_h=c_1e^x+c_2e^{-x}\]

Como solución particular de la ecuación completa se buscaría una de la forma

\[y_p=Ae^x\sin x+Be^x\cos x\]

Derivando se obtendría:

\[\begin{split}\begin{array}{l} y_p' &=& Ae^x\sin x+Ae^x\cos x +Be^x\cos x-Be^x\sin x \\ &=& e^x((A-B)\sin x +(A+B)\cos x) \\ y_p'' &=& e^x((A-B)\sin x +(A+B)\cos x)+e^x((A-B)\cos x -(A+B)\sin x) \\ &=& e^x(2A\cos x - 2B\sin x) \end{array}\end{split}\]

Llevando estas expresiones a la ecuación diferencial, se obtienen las condiciones que deben cumplir los parámetros \(A\) y \(B\):

\[e^x(2A\cos x - 2B\sin x) -e^x((A-B)\sin x +(A+B)\cos x) =5e^x\sin x\]

de donde se obtiene

\[\begin{split}\begin{array} -2A-B = 0 \\ -A-2B = 5 \end{array}\end{split}\]

Por tanto, \(A=-1\) y \(B=-2\). De manera que la solución general de la ecuación inicial es

\[y=c_1e^x+c_2e^{-x} -e^x\sin x-2e^x\cos x\]
ec = sp.Eq(y(x).diff(x,2) - y(x), 5*sp.exp(x)*sp.sin(x))
sp.dsolve(ec)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{2} e^{- x} + \left(C_{1} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}\]

Ecuaciones con otro tipo de funciones \(g(x)\)#

El método de los coeficientes indeterminados también puede aplicarse a ecuaciones en las que la función \(g(x)\) se exprese como suma de funciones de las formas anteriores. En ese caso, la solución particular puede ser calculada sumando soluciones particulares de ecuaciones formadas con cada uno de los sumandos. El siguiente ejemplo muestra este procedimiento.

Ejemplo:

Dada la ecuación diferencial

\[y^{v}-4y^{iv}+8y'''-8y''+4y'= 4+xe^x+80e^x\sin x\]

la solución de la ecuación homogénea asociada es:

\[y=c_1+e^x\left[(c_2+c_3x)\cos x + (c_4+c_5x)\sin x\right]\]

y las raíces de la ecuación característica son \(\lambda_1=0\) y dos raíces complejas conjugadas dobles \(\lambda_2=1+i\) y \(\lambda_3=1-i\).

Como solución particular podría probarse una de la forma \(y_p=y_1+y_2+y_3\) donde:

  • \(y_1\) es una solución particular de \(y^{v}-4y^{iv}+8y'''-8y''+4y'= 4\)

  • \(y_2\) es una solución particular de \(y^{v}-4y^{iv}+8y'''-8y''+4y'= xe^x\)

  • \(y_3\) es una solución particular de \(y^{v}-4y^{iv}+8y'''-8y''+4y'= 80e^x\sin x\)

Por tanto, la solución particular a buscar debería tener la forma siguiente:

\[y_p=Ax+(B+Cx)e^x+Dx^2e^x\sin x+Fx^2e^x\cos x\]

Introduciendo esa solución particular sobre la ecuación se obtendrían las condiciones que determinan los valores de los coeficientes indeterminados, obteniéndose:

\[\begin{split}\begin{array}{l} A = 1 \\ B = -1 \\ C = 1 \\ D = -5 \\ F = 5 \end{array}\end{split}\]

En definitiva, la solución general de la ecuación es:

\[y=c_1+e^x\left[(c_2+c_3x)\cos x + (c_4+c_5x)\sin x\right] +x+(-1+x)e^x-5x^2e^x\sin x+5x^2e^x\cos x\]
ec = sp.Eq(y(x).diff(x,5) - 4*y(x).diff(x,4) + 8*y(x).diff(x,3) - 8*y(x).diff(x,2) + 4*y(x).diff(x), 
           4 + x*sp.exp(x) + 80*sp.exp(x)*sp.sin(x))
sp.dsolve(ec)
\[\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{1} + x + \left(x + \left(C_{2} + x \left(C_{3} - 5 x\right)\right) \sin{\left(x \right)} + \left(C_{4} + x \left(C_{5} + 5 x\right)\right) \cos{\left(x \right)} - 1\right) e^{x}\]

Ejercicios propuestos#

  • Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden:

\[y''-7y'+12y=0\]
\[y''+7y'+6y=0\]
\[y''-9y=0\]
\[y''+10y'+29y=0\]
\[y''+2y'+2y=0\]

  • Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales encontrar la solución que verifique las condiciones indicadas en cada caso:

\[y''-6y'+9y=0 \mbox { con } y(0)=1,\;y'(0)=0\]
\[y''-2y'+y=0 \mbox { con } y(2)=1,\;y'(2)=-2\]
\[y''+y=0 \mbox { con } y(0)=5,\;y'(0)=2\]
\[y''+2y'+2y=0 \mbox { con } y(0)=3,\;y'(0)=-3\]
\[y''-4y'+4y=0 \mbox { con } y(0)=1,\;y(1)=3e^2\]

  • Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de tercer orden:

\[y'''+2y''-y'-2y=0\]
\[y'''-y''-y'+y=0\]
\[y'''-8y=0\]
\[y'''+y''-2y'=0\]
\[y'''-2y''-5y'+6y=0\]

  • Resolver las siguientes ecuaciones de orden superior:

\[y^v-2y^{iv}-2y'''+4y''+y'-2y=0\]
\[y^v-6y^{iv}+9y'''=0\]
\[y^{iv}+4y'''+10y''+12y'+5y=0\]
\[y^v+2y'''+y'=0\]

  • Encontrar una ecuación diferencial de segundo orden cuya solución general sea

\[y=e^{-2x}(c_1\sin 4x + c_2\cos 4x)\]

  • Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas:

\[y''+y'+y=x^2+x+1\]
\[y''+3y'=3xe^{-3x}\]
\[y''+4y=x\sin 2x\]
\[y''-2y'-3y=e^{4x}\]
\[y''-3y'+2y=xe^{3x}+1\]
\[y''+3y'-4y= e^{-4x}+xe^{-x}\]
\[y''+y'+y=\sin x + x^2+x-1\]

  • Resolver las siguientes ecuaciones no homogéneas de tercer orden:

\[y'''+y''-2y'=-e^x-2\]
\[y'''+y''=1\]
\[y'''-y''+y'-y=x^2+x\]

  • Resolver el siguiente problema de valor inicial:

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{l} y'''-3y''+3y'-y=0 \\ y(0)=1,\;y'(0)=2,\;y''(0)=3 \end{array} \right.\end{split}\]

  • Encontrar una ecuación diferencial lineal de segundo orden cuya solución general sea:

\[y=c_1\sin x + c_2\cos x +e^x\]