Fractales

Tabla de Contenidos

1. ¿Qué vamos a hacer?
2. ¿Qué es un fractal?
3. ¿Qué es la recursividad?
   1. Factorial
   2. Sucesión Fibonacci
   3. Ordenación
4. Actividad 1: Conjunto de Cantor
   1. Etapas de la construcción
   2. Pasos con Geogebra
   3. Propiedades
5. Actividad 2: Cuadrado de Cantor
   1. Construcción con Geogebra
   2. Propiedades
6. Actividad 3: Triángulo de Sierpinski
   1. Etapas de la construcción
   2. Construcción con Geogebra
   3. Propiedades
   4. Relación con el triángulo de Pascal
7. Actividad 4: Curva de Koch
   1. Etapas de la construcción
   2. Construcción con Geogebra
   3. Propiedades
   4. Copo de nieve
8. Actividad 5: Otros fractales
   1. Esponja de Menger
   2. Fractal de Durero
   3. Árboles pitagóricos
   4. Pentágono, hexágono y octógono de Sierpinski
   5. Otras curvas de Sierpinski
9. Actividad 6: Otros ejemplos de fractales
   1. Fractales en la naturaleza
   2. Medicina
   3. Música
   4. Arte
   5. Referencias
10. Ficheros Geogebra
    1. Dividir segmento en tres partes iguales
    2. Conjunto de Cantor
    3. Triángulo de Sierpinski
    4. Triángulo de Pascal
    5. Curva de Koch
    6. Copo de nieve

Propiedades

Veamos ahora alguna propiedad de este curioso conjunto. Para ello rellena la siguiente tabla

Pregunta: ¿Qué observas en relación a la longitud de este conjunto?

Algunas propiedades de este conjunto son las siguientes:

• Su longitud es cero, pero tiene tantos puntos como toda la recta real.
• Es un conjunto totalmente disconexo: entre cada dos puntos siempre hay infinitos puntos que no pertenecen al conjunto.
• Si tomamos A=0 y B=1 este conjunto está formado por aquellos puntos del intervalo unidad cuya expresión en base 3 no contienen el dígito 1.

Dimensión fractal (dimensión de autosemejanza)

Además de la propiedad de autosimilitud los fractales poseen otra propiedad que hace referencia a su irregularidad. Se denomina dimensión fractal y normalmente es un número fraccionario.

Si observamos el conjunto de Cantor, vemos que en cada paso se reduce la longitud 1/3. Felix Hausdorff definió en 1919 un nuevo concepto de dimensión que Mandrelbrot tomó para caracterizar los fractales. Así, si un todo se puede descomponer en N partes que se obtienen mediante una homotecia de razón R entonces la figura se dice que tiene una dimensión fractal dada por la expresión:

Por ejemplo, un segmento tiene dimensión fractal 1

Un cuadrado tiene dimensión fractal 2 ya que

Pregunta: Y ¿un cubo dividido en 27 partes?

Observa que: El conjunto de Cantor tiene una dimensión fraccionaria entre 0 y 1 (es algo más que un punto pero menos que un segmento). Su dimensión se puede calcular con la fórmula anterior teniendo en cuenta que N=2 y R=1/3