Propiedades
Veamos ahora alguna propiedad de este curioso conjunto. Para ello rellena la siguiente tabla
| Etapa | Número de segmentos | Longitud de cada segmento | Suma de las longitudes de todos los segmentos |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 unidad | 1 unidad |
| 1 | 2 | $\frac{1}{3}$ | |
| 2 | 4 | $\frac{1}{3^2}$ | $\frac{2^2}{3^2}$ |
| 3 | 8 | $\frac{1}{3^3}$ | $\frac{2^3}{3^3}$ |
| ... | |||
| n | $2^n$ | $\frac{1}{3^n}$ | $\frac{2^n}{3^n}$ |
Algunas propiedades de este conjunto son las siguientes:
- Su longitud es cero, pero tiene tantos puntos como toda la recta real.
- Es un conjunto totalmente disconexo: entre cada dos puntos siempre hay infinitos puntos que no pertenecen al conjunto.
- Si tomamos A=0 y B=1 este conjunto está formado por aquellos puntos del intervalo unidad cuya expresión en base 3 no contienen el dígito 1.
Dimensión fractal (dimensión de autosemejanza)
Además de la propiedad de autosimilitud los fractales poseen otra propiedad que hace referencia a su irregularidad. Se denomina dimensión fractal y normalmente es un número fraccionario.
Si observamos el conjunto de Cantor, vemos que en cada paso se reduce la longitud 1/3. Felix Hausdorff definió en 1919 un nuevo concepto de dimensión que Mandrelbrot tomó para caracterizar los fractales. Así, si un todo se puede descomponer en $N$ partes que se obtienen mediante una homotecia de razón $R$ entonces la figura se dice que tiene una dimensión fractal dada por la expresión:
$$N{{\left( R \right)}^{D}}=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D=\frac{\log \left( N \right)}{\log (1/R)}$$Por ejemplo, un segmento tiene dimensión fractal 1
|
|
$3{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\textcolor{red} 1}}=1$
R = 1/3, N = 3 $D=\frac{\log \left( 3 \right)}{\log (3)}=1$ |
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$9\cdot {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\textcolor{red}{2}}}=1$
R = 1/3, N = 9 $D=\frac{\log \left( 9 \right)}{\log (3)}=2$ |
Observa que: El conjunto de Cantor tiene una dimensión fraccionaria entre 0 y 1 (es algo más que un punto pero menos que un segmento). Su dimensión se puede calcular con la fórmula anterior teniendo en cuenta que $N=2$ y $R=1/3$
$$D=\frac{\log \left( 2 \right)}{\log (3)}\approx 0.6309$$