Módulo 5: Diferencias Finitas

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Teoría (Pizarra)

Concepto Aproximación

Discretización del BVP

Sistema Tridiagonal

Problema de Contorno (BVP):

EDO: $y'' + y = t$ en $[0, 1]$
Contorno: $y(0) = 1$, $y(1) = 2$

Número de Intervalos (N):

Simulador y Resultados

Grafica Trayectoria

Tabla de Resultados

Código MATLAB

Comparación de Soluciones (Diferencias Finitas vs Exacta)

Compara la aproximación calculada discretizando la segunda derivada frente a la solución analítica continua del BVP: $$y(t) = \cos(t) + \frac{1-\cos(1)}{\sin(1)}\sin(t) + t$$

Código Equivalente en MATLAB

Aproximación de Derivadas

Las diferencias finitas sustituyen las derivadas continuas de una EDO por combinaciones algebraicas de valores discretos en nodos $t_i$ de una malla de paso $h$:

Primera Derivada (Central): $y'(t_i) \approx \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h} + O(h^2)$
Segunda Derivada (Central): $y''(t_i) \approx \frac{y_{i-1} - 2y_i + y_{i+1}}{h^2} + O(h^2)$

Discretización del BVP

Para la ecuación diferencial $y'' + y = t$, sustituimos la segunda derivada central en cada nodo interior $i = 1, \dots, N-1$:

$$\frac{y_{i-1} - 2y_i + y_{i+1}}{h^2} + y_i = t_i$$ $$y_{i-1} - (2 - h^2) y_i + y_{i+1} = h^2 t_i$$

Esto genera un sistema acoplado de ecuaciones lineales algebraicas cuya solución es el vector de alturas estimadas $\mathbf{y}$.

El Sistema Tridiagonal y Thomas

El sistema resultante tiene estructura de matriz tridiagonal:

Valores Calculados en Nodos

Cada fila muestra el valor temporal $t_i$, la aproximación numérica $y_i$, la solución analítica exacta $y(t_i)$ y el error de aproximación.

Nodo ($i$)	Tiempo ($t_i$)	Aproximado ($y_i$)	Exacto ($y(t_i)$)	Error Absoluto

MÉTODOS NUMÉRICOS: ECUACIONES DIFERENCIALES