Módulo 4: Método de Tiro

Teoría (Pizarra)

Concepto Método de Tiro

Reducción a Sistema

Algoritmo de la Secante

Condiciones de Contorno:

EDO: $t^3 y'' = (y - t y')^2$ en $[1, 2]$
Contorno: $y(1) = 0$, $y(2) = 2$

Pendiente Inicial Provisional (x = y'(1)): (Nota: Valores de $x \ge 2.0$ provocan que la solución diverja a infinito en el intervalo)

Simulador y Resultados

Grafica Trayectoria

Historial de Intentos

Código MATLAB

Trayectoria del "Proyectil" de Integración

Cada curva representa la trayectoria resultante de integrar la ecuación desde el extremo izquierdo $t=1$ (donde $y(1)=0$) usando una pendiente inicial provisional $y'(1) = x$. El objetivo es ajustar el ángulo de disparo ($x$) hasta dar en el blanco (la estrella roja en $t=2, y(2)=2$).

Código MATLAB (Función g(x) de Tiro)

Concepto del Método de Tiro

Un Problema de Valores en el Contorno (BVP) especifica condiciones para la solución en diferentes puntos (los extremos del intervalo $[a, b]$). Para resolverlo numéricamente:

Convertimos el BVP en un Problema de Valor Inicial (PVI) equivalente.
Definimos una pendiente inicial provisional $y'(a) = x$.
"Disparamos" (integramos) la ecuación hasta el final $t = b$ y comparamos la altura alcanzada $y_x(b)$ con el objetivo real $\beta$.

Reducción a Sistema de PVI

Para integrar una EDO de segundo orden $y'' = f(t, y, y')$, se transforma en un sistema vectorial de primer orden:

$$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix} \implies \mathbf{u}' = \begin{pmatrix} u_2 \\ f(t, u_1, u_2) \end{pmatrix}$$

donde el estado inicial es $\mathbf{u}(a) = \begin{pmatrix} \alpha \\ x \end{pmatrix}$, siendo $x$ la pendiente supuesta a afinar.

Reducción a PVI y Método de la Secante

Definimos el PVI dependiente del parámetro $x = y'(t_0)$. Queremos hallar la raíz de $g(x) = y_x(t_f) - y_f = 0$ iterando:

Historial de Intentos

Cada fila registra la pendiente inicial provisional $x_n$ ensayada, la altura final alcanzada $y(2)$ y el error $g(x_n) = y(2) - 2$. El método de la secante usa los dos últimos intentos para corregir el ángulo de disparo y estimar $x_{n+1}$ buscando reducir el error a cero.

Iteración / Tipo	Pendiente supuesta ($x_n$)	Altura final $y(2)$	Error $g(x_n)$

MÉTODOS NUMÉRICOS: ECUACIONES DIFERENCIALES