MÉTODOS NUMÉRICOS: ECUACIONES DIFERENCIALES

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son esquemas explícitos de resolución numérica que aproximan la derivada como un promedio ponderado de pendientes intermedias $k_i$ evaluadas en etapas del subintervalo $[t_n, t_{n+1}]$:

donde $m$ es el número de etapas y cada pendiente intermedia $k_i$ se define recursivamente: $$k_i = f\left( t_n + c_i h, \; y_n + h \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} k_j \right)$$

Los coeficientes del método RK se representan compactamente mediante el Tablero de Butcher:

donde $\mathbf{c} = (c_i)$ son los nodos temporales, $\mathbf{b} = (b_i)$ son los pesos de integración y $\mathbf{A} = (a_{ij})$ es la matriz de pesos de etapas.

Método de Heun (Orden 2): Promedia 2 pendientes (inicial y final estimada): $$\begin{array}{c|cc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \hline & 1/2 & 1/2 \end{array}$$

RK4 Clásico (Orden 4): Es el estándar clásico de resolución en EDOs: $$\begin{array}{c|cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6 \end{array}$$

El error de truncamiento global acumulado de los esquemas depende del orden de exactitud $p$:

• Euler: 1 etapa, orden 1 ($E_{global} = O(h)$).
• Heun: 2 etapas, orden 2 ($E_{global} = O(h^2)$).
• RK4 Clásico: 4 etapas, orden 4 ($E_{global} = O(h^4)$).

Nota: Para órdenes $p \le 4$, el número mínimo de etapas necesarias $m$ coincide con el orden ($m = p$). Sin embargo, para orden 5 se necesitan al menos 6 etapas.