Módulo 1: Euler y PVI

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Teoría (Pizarra)

Definición de PVI

Existencia y Unicidad

Ecuaciones de Orden Superior

Resolución Numérica General

Método de Resolución de Euler

Problema a Resolver

Tamaño de Paso (h):

Simulador y Resultados

Método de Euler (Simulador)

Tabla de Pasos

Aproximación Poligonal vs. Curva Exacta

💡 Nota Pedagógica: En la práctica de la ingeniería, los métodos numéricos se emplean fundamentalmente cuando no se dispone de una solución analítica (exacta). En este laboratorio utilizamos problemas con solución exacta conocida únicamente con fines didácticos, permitiendo cuantificar los errores y estudiar la convergencia del algoritmo.

Código Equivalente en MATLAB

Problema de Valor Inicial (PVI)

Un Problema de Valor Inicial (PVI) consiste en una ecuación diferencial ordinaria (EDO) junto con una condición que especifica el valor de la solución en un punto inicial:

$$\begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in [t_0, t_f] \\ y(t_0) = y_0 \end{cases}$$

Resolver el PVI numéricamente consiste en aproximar los valores discretos de la solución $y_n \approx y(t_n)$ sobre una secuencia de puntos temporales o nodos de la malla: $$t_n = t_0 + n \cdot h, \quad n = 0, 1, \dots, N$$ donde $h = \frac{t_f - t_0}{N}$ es el **tamaño de paso** constante entre nodos.

Teorema de Existencia y Unicidad

Para asegurar que un PVI tenga una solución única en el intervalo de integración, se exige el cumplimiento de dos propiedades fundamentales:

Existencia: Si $f(t, y)$ es continua en un dominio que contiene al punto inicial $(t_0, y_0)$, entonces el problema tiene al menos una solución en dicho dominio.
Unicidad (Lipschitzianidad): Si además $f(t, y)$ cumple la condición de Lipschitz respecto a la variable $y$, es decir, existe una constante $L > 0$ tal que: $$\|f(t, y_1) - f(t, y_2)\| \le L \|y_1 - y_2\|$$ para cualquier par de puntos, se garantiza que la solución es única.

Reducción a Sistemas de Primer Orden

Cualquier EDO de orden $m > 1$ se puede transformar en un sistema equivalente de $m$ ecuaciones de primer orden mediante la introducción de variables auxiliares:

$$u_1 = y, \quad u_2 = y', \quad u_3 = y'', \quad \dots, \quad u_m = y^{(m-1)}$$

Derivando cada variable auxiliar se obtiene el sistema vectorial continuo $\mathbf{u}'(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{u})$ de primer orden:

$$\begin{pmatrix} u_1' \\ u_2' \\ \vdots \\ u_m' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_2 \\ u_3 \\ \vdots \\ F(t, u_1, u_2, \dots, u_m) \end{pmatrix}$$

Seleccione una EDO para ver su conversión:

Esquema General de Resolución Numérica

La mayoría de los resolvedores numéricos de un paso avanzan iterativamente calculando el valor de la aproximación en el siguiente nodo $y_{n+1}$ a partir del estado actual $(t_n, y_n)$ usando la fórmula:

$$y_{n+1} = y_n + h \cdot \Phi(t_n, y_n, h)$$

donde $\Phi(t_n, y_n, h)$ representa la función de incremento, que caracteriza al método y estima la pendiente promedio de la curva solución en el intervalo $[t_n, t_{n+1}]$.

Si $\Phi(t_n, y_n, h) = f(t_n, y_n)$, obtenemos el Método de Euler (utiliza solo la derivada en el punto inicial).
Si $\Phi$ es una combinación ponderada de varias derivadas intermedias estimadas, obtenemos métodos más precisos (como los esquemas Runge-Kutta).

Formulación del Problema y Método de Euler

El método de Euler avanza aproximando la derivada mediante la pendiente de la recta tangente en el punto actual $(t_n, y_n)$:

Tabla de Integración Paso a Paso

n	t_n	y_n	f(t_n, y_n)	y_exacta	Error Abs

MÉTODOS NUMÉRICOS: ECUACIONES DIFERENCIALES