Resultados de la Aproximación
Fundamento Teórico: Interpolación de Lagrange
Dada una función $f(x)$ y $N$ nodos distintos, construimos el polinomio interpolador $p_{N-1}(x)$ de grado a lo sumo $N-1$ que satisface $p_{N-1}(x_i) = f(x_i)$:
$p_{N-1}(x) = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) l_i(x)$
donde los polinomios base son:
$l_i(x) = \prod_{j \ne i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
Nota: Con nodos equiespaciados y $N$ elevado, este método sufre del Fenómeno de Runge (oscilaciones salvajes en los bordes del intervalo).
Fundamento Teórico: Interpolación de Hermite
Buscamos un polinomio único $p_{2N-1}(x)$ de grado a lo sumo $2N-1$ que coincida tanto en el valor de la función como en su primera derivada en los $N$ nodos dados:
$p(x_i) = f(x_i), \quad p'(x_i) = f'(x_i), \quad i=0,\dots,N-1$
Este método garantiza una aproximación con suavidad de tangencia (Paso y Derivada). Requiere resolver un sistema de orden $2N$ o emplear diferencias divididas modificadas.
Fundamento Teórico: Mínimos Cuadrados
Cuando el número de puntos es muy grande o contienen ruido, en lugar de interpolar, buscamos un polinomio de grado $k \ll N-1$ que minimice la suma de los residuos al cuadrado. Se resuelve planteando las Ecuaciones Normales:
$A^T A a = A^T b$
Donde $A$ es la matriz de diseño de Vandermonde y $a$ es el vector de coeficientes del polinomio de ajuste óptimo.
Análisis y Cota del Error