CONFERENCIANTES INVITADOS

  Fernando Alcalde Cuesta, Espacios foliados definidos por mosaicos

  Jesús Araujo, Aplicaciones separadoras entre espacios de funciones continuas

  José Manuel García Calcines, Una versión de tipo Whitehead-Ganea para la noción de categoría LS propia.

  José Manuel Rodríguez Sanjurjo, La topología de los atractores

  María del Carmen Romero-Fuster, Invariantes globales de aplicaciones estables de superficies en el plano


 

  Fernando Alcalde Cuesta (Universidade de Santiago de Compostela)

Espacios foliados definidos por mosaicos.

Un mosaico del plano es una descomposición del plano euclidiano en subconjuntos llamados teselas, generalmente polígonos, obtenidos por traslación (o mediante un grupo de movimientos rígidos que contenga a las traslaciones) a partir de un conjunto de teselas modelo o prototeselas. El interés por los mosaicos aperiódicos, que no son conservados por ninguna traslación, proviene de los trabajos de H. Wang sobre las máquinas de Türing, desarrollados en torno a 1960. Su propósito era encontrar un algoritmo para decidir si una familia de cuadrados con las aristas coloreadas puede teselar el plano de manera coherente. Según un resultado del propio Wang, ese algoritmo existía si y sólo si cualquier conjunto de prototeselas de un mosaico aperiódico lo era también de uno periódico. Sin embargo, en 1966, R. Berger describió un conjunto de 20.426 teselas aperiódicas. Poco después, en 1971, R. M. Robinson redujo este número a 6. En 1977, R. Penrose construyó un ejemplo con dos teselas, la flecha y la cometa, que sólo recubren el plano de manera aperiódica. Por otra parte, el equipo de D. Shechtman descubrió en 1982 una aleación de aluminio e manganeso que poseía todas las características de un cristal, aunque presentaba un patrón de difracción incompatible con el teorema de Bieberbach. Surgía así el primer ejemplo de sólido casi cristalino, un tipo de aleación metálica con buenas propiedades físicas.

El descubrimiento de Shechtman ha favorecido el estudio teórico de los mosaicos aperiódicos, ya que proporcionan modelos para los patrones de difracción de los sólidos casi cristalinos. Una cuestión habitual es la naturaleza del espectro de una partícula que se mueve en ese tipo de sólido, lo que conduce a la construcción de un espacio no conmutativo como álgebra de observables. Aunque las relaciones de traslación y contigüidad se han usado en su descripción, la idea más natural es probar que el espacio de mosaicos construidos a partir de un número finito de prototeselas está dotado de una topología, llamada topología de Gromov-Hausdorff, que lo convierte en un espacio foliado y considerar la C*-álgebra asociada. Esta topología hace que las teselas obtenidas por traslación a partir de cada prototesela se apilen en subconjuntos cerrados, foliados en producto, formando un atlas foliado. Nuestro propósito es describir este espacio foliado y caracterizar los subconjuntos minimales. Para ilustar todo esto, nos ocuparemos de un ejemplo concreto: el espacio foliado de los mosaicos de Robinson. Según comprobaremos, la dinámica medible del único minimal está representada por una máquina de sumar binaria.

 

  Jesús Araujo (Universidad de Cantabria)

Aplicaciones separadoras entre espacios de funciones continuas

En algunos casos, un espacio topológico queda perfectamente caracterizado por ciertas propiedades no necesariamente topológicas de ciertos espacios de funciones continuas asociadas. Por ejemplo, si X es realcompacto, el espacio X es perfectamente determinado por el anillo C(X), es decir, un isomorfismo de anillos entre espacios de funciones continuas conduce a un homeomorfismo entre los espacios topológicos base. Si ademas X es compacto, es perfectamente determinado por la norma del espacio de Banach C(X), es decir, una isometría lineal entre espacios de funciones continuas conduce igualmente a un homeomorfismo.

En esta charla, veremos que se puede relajar la condición de isomorfismo de anillos para conseguir un resultado análogo. Se introducirán así las aplicaciones separadoras. Ello permitirá el estudio en una familia más amplia de espacios, tales como espacios de funciones con valores vectoriales. En tales casos, se consigue una representación de las aplicaciones separadoras y, como consecuencia, resultados también de representación de isometrías entre espacios de funciones definidas sobre no compactos. Se verá entonces que, en general, el ámbito natural de estudio no viene dado mediante la asunción de compacidad en los espacios topológicos base.

 

  José Manuel García Calcines (Universidad de La Laguna)

Una versión de tipo Whitehead-Ganea para la noción de categoría LS propia.

Los invariantes homotópicos ordinarios, en los que se incluye los numéricos como la categoría LS clásica, no reflejan fielmente el comportamiento y geometría de los espacios no compactos "en el infinito". Para ello es necesario considerar invariantes por homotopía propia. Así, R. Ayala, E. Domínguez, A. Márquez y A. Quintero han introducido exitosamente en [1] invariantes homotópicos propios de tipo Lusternik-Schnirelmann, posteriomente analizados y estudiados con mayor profundidad en [2], [3], [4] y [5]. Es bien sabida la falta de buenas propiedades categóricas de la categoría propia. Como consecuencia tan solo se puede hacer un número bastante limitado de construcciones homotópicas. Por tanto, se adolece de muchas otras construcciones, como por ejemplo los límites homotópicos y las fibraciones propios. Este hecho impide las formulaciones de tipo Ganea y Whitehead de la categoría LS propia, lo cual constituye un obstáculo para el desarrollo de este invariante.

En esta charla veremos que este problema tiene una solución satisfactoria. Dicha solución pasa por considerar la potente herramienta de los espacios exteriores (introducida en [6, 7, 8]), categoría que contiene a la categoría propia. A partir de la estructura de LS axiomática que surge de forma natural en la categoría de homotopía exterior se podrá recuperar la correspondiente versión propia de categoría LS.

[1] R. Ayala, E. Domínguez, A. Márquez y A. Quintero. Lusternik-Schnirelmann invariants in proper homotopy theory. Pacific J. Math. 153 (1992) 201-215.

[2] R. Ayala y A. Quintero. On the Ganea strong category in proper homotopy. Proc. Edinburgh Math. Soc. 41 (1998) 247-263.

[3] M. Cárdenas, F.F. Lasheras y A. Quintero. Minimal covers of open manifolds with halfspaces y the proper L-S category of product spaces. Bull. Belgian Math. Soc. 9 (2002) 419-431.

[4] M. Cárdenas, F.F. Lasheras, F. Muro y A. Quintero. Proper L-S category, fundamental pro-groups y 2-dimensional proper co-H-spaces. Topology Appl., in press. DOI: 10.1016/j.topol.2005.01.032

[5] M. Cárdenas, F. Muro y A. Quintero. The proper L-S category of Whitehead manifolds. Topology Appl., in press. DOI: 10.1016/j.topol.2005.01.031.

[6] J.M. García-Calcines, M. García-Pinillos y L.J. Hernández-Paricio. A closed model category for proper homotopy y shape theories. Bull. Austral. Math. Soc. 57(2) (1998) 221-242.

[7] J.M. García-Calcines, M. García-Pinillos y L.J. Hernández-Paricio. Closed simplicial model structures for exterior y proper homotopy theory. Appl. Categ. Structures 12(3) (2004), 225-243.

[8] J.M. García-Calcines y L.J. Hernández-Paricio. Sequential homology. Topology Appl. 114 (2001), 201-225.

 

  José Manuel Rodríguez Sanjurjo (Universidad Complutense de Madrid)

La topología de los atractores

Es bien conocido que los atractores de flujos en el espacio euclídeo y en variedades diferenciables pueden presentar propiedades topológicas muy complicadas. De hecho, atractores famosos, como el de Lorenz y otros, han merecido la atención de los topólogos, que han encontrado en ellos abundante inspiración para sus investigaciones. Sin embargo, las complicaciones topológicas de los atractores son, sobre todo, de carácter local. Si se estudian con las técnicas adecuadas, se puede observar que las propiedades globales de los mismos son relativamente simples. Cabe, sin embargo, distinguir entre los atractores estables y los inestables. Los segundos presentan, por supuesto, dificultades considerablemente más serias para su estudio que los primeros.

En esta intervención expondré algunos de los resultados obtenidos por los topólogos de las universidades Complutense y Politécnica de Madrid que trabajan en este tema: además del conferenciante, M. Alonso Morón, A. Giraldo, F. Ruiz del Portal y J.J. Sánchez Gabites. Las técnicas utilizadas pertenecen a la teoría de la forma, cohomología de Čech, teoría de dualidad en variedades y teoría del índice de Conley. Las propiedades estudiadas van desde la robustez de las propiedades topológicas de los atractores respecto de pequeñas perturbaciones del flujo hasta el análisis de la estructura del borde de la región de atracción, pasando por las propiedades globales de las bifurcaciones.

 

  María del Carmen Romero-Fuster (Universitat de València)

Invariantes globales de aplicaciones estables de superficies en el plano

Un conocido teorema de H. Whitney afirma que el conjunto singular de cualquier aplicación estable de una superficie cerrada en el plano está formado por una colección de curvas de puntos de pliegue con puntos de tipo cúspide aislados. La imagen del conjunto singular en el plano (contorno aparente) consiste en una colección de curvas inmersas con puntos singulares aislados (cúspides) y autointersecciones transversales. La aplicación de las técnicas de Vassiliev [V] conduce a la obtención de invariantes de isotopía de tipo semi-local (Aicardi y Ohmoto [OA]). Con el objetivo de esudiar estas aplicaciones desde un punto de vista global introducimos un grafo que describe la posición del conjunto singular en la superficie y estudiamos hasta qué punto las informaciones proporcionadas por el conjunto singular y el contorno aparente determinan la aplicación. Se obtiene el siguiente resultado:

    Todo grafo finito puede ser asociado a alguna aplicación estable de una superficie cerrada (compacta y sin frontera) M en el plano. La superficie M será orientable si y solo si el grafo es bipartito.

Una clase importante de aplicaciones estables está compuesta por las submersiones con pliegues (esto es, aplicaciones estables sin cúspides), tambien conocidas como aplicaciones estables especiales. En este caso tenemos:

  1. Cualquier curva del contorno aparente de una aplicación estable sin cúspides de una superficie orientable cerrada en el plano tiene número de rotación impar (y por lo tanto un número par de puntos dobles).

  2. Un grafo puede estar asociado a una aplicación estable sin c?spides de una superficie orientable cerrada en el plano si y solo si satisface la condición
    V+ - V-= g+ - g-,
    donde V+ y V- representan respectivamente los números de vértices con etiquetas positivas y negativas y g+ y g- los géneros de las regiones correspondientes.
Como consecuencia, es posible determinar todos los pares posibles (grafo, contorno aparente) para aplicaciones con invariantes de Ohmoto-Aicardi prefijados.

Bibliografía

[OA] T. Ohmoto and F. Aicardi. First order local invariants of apparent contours. Topology 45 (2006), 27-45.

[V] Vassiliev, V. A., Complements of discriminants of smooth maps: topology and applications, AMS, Providence, RI, 1992.