Valores y vectores propios
J. M. de Olazábal, Universidad de Cantabria, www.matesco.unican.es/~olazabal
http:// personales.unican.es/olazabaj
e-mail:jm.olazabal@unican.es
NOTA: Esta hoja de trabajo muestra el uso de MAPLE V para aprender a calcular valores y vectores propios
Introducción
El cálculo de valores y vectores propios de una matriz depende del cuerpo considerado; por ejemplo, el polinomio característico de la matriz [[0,2][1,0]] es x^2-2, que carece de raíces racionales, pero posee dos reales y distintas. En consecuencia, tal matriz no puede ser semejante sobre los racionales a una matriz diagonal, pero sobre los reales lo es a la matriz diag[sqrt(2),-sqrt(2)]. Esta parte del paquete PSALMO contiene procedimientos cuyos argumentos indican a MAPLE el cuerpo base considerado.
El cálculo de valores y vectores propios es el paso básico en la diagonalización por semejanza de una matriz. Esta hoja de trabajo ejecuta el procedimiento DIAGONALIZA, del paquete PSALMO, que calcula, para una matriz diagonalizable A, una matriz regular P de vectores propios; asi, P-1&*A&*P es la matriz diagonal de los valores propios (de A). DIAGONALIZA admite varios argumentos a fin de indicar a MAPLE el cuerpo base de trabajo.
Por otro lado, desde el punto de vista docente, la simple ejecución de los procedimientos observando su resultado no enseña en absoluto su cálculo. Por esta razón, el paquete PSALMO, haciendo amplio uso de la primitiva "readstat" de Maple, implementa un procedimiento interactivo, que dialoga con el usuario sobre diferentes aspectos y situaciones del cálculo.
Valores propios
Vectores propios
Diagonalizando por semejanza una matriz
Conclusion
Un único comando -AUTOVALORES- calcula los valores propios de una matriz con diferentes opciones:
sobre los racionales, sobre cuerpos finitos y extensiones apropiadas.
Un único comando -AUTOVECTORES- calcula los vectores propios de una matriz con diferentes opciones:
sobre los racionales, sobre cuerpos finitos y extensiones apropiadas.
Un único comando -DIAGONALIZA- calcula, para una matriz diagonalizable por semejanza, la diagonal de valores propios y aloja en una variable muda P la matriz regular de vectores propios. Existen dieferentes opciones:
sobre los racionales, sobre cuerpos finitos, extensiones apropiadas e interactivamente.
Referencias
[1] M.B. Monagan et al, Maple V Programming Guide , Springer. New York 1996.
[2] J.M. de Olazábal, Procedimientos Simbólicos en Algebra Lineal, Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cantabria. Santander (Spain) 1998.