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Análisis
Complejo
1. El plano complejo. Propiedades algebraicas, topológicas y geométricas. Esfera de Riemann.
2.
Funciones derivables. Series de
potencias.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Función exponencial. Funciones
trigonométricas.
3.
Integral de Riemann-Stieltjes.
Ecuaciones
paramétricas de una curva. Integración sobre caminos. Paso al límite
bajo el
signo de integral. Teorema de Cauchy en un rectángulo.
4.
Funciones enteras. Teorema de
Cauchy para
funciones enteras. Fórmula integral de Cauchy. Determinación de
funciones analíticas
por sus valores en subconjuntos del dominio. Teorema de Liouville.
Teorema
fundamental del álgebra.
5.
Propiedades locales de las
funciones analíticas.
Principio del módulo máximo y aplicaciones. Teorema de la aplicación
abierta.
6.
Aplicaciones del disco unitario
en si mísmo.
Lema de Schwarz. Teorema de Morera. Principio de reflexión de Schwarz.
7.
Conexión simple. Teorema de
Cauchy en
regiones simplemente conexas. Existencia de logaritmos.
8.
Singularidades. Teorema de
Cassoratti-Weierstrass.
Funciones meromorfas.
9.
Series de Laurent.
Singularidades en el
infinito.
10.
Cálculo
de residuos. Aplicación al cálculo de integrales reales. Suma de series
mediante residuos. Principio del argumento.
11.
Teorema
de Rouché. Teorema de Hurwitz. Familias normales. Teorema de Montel.
Funciones
meromorfas en la esfera de Riemann.
12.
Productos
infinitos. Teorema de factorización de Weierstrass. Función gama.
Función
zeta de Riemann.
13.
Teorema
del número primo de Hadamard-La Vallée Poussin.
14.
Funciones
armónicas y subarmónicas. Núcleo de Poisson. Problema de Dirichlet.
Principio
de Harnack.
Ahlfors,
L. V., Complex Analysis,
Mc.Graw-Hill.
Bak,
J., Newman, D.J., Complex
Analysis,
Springer-Verlag.
Conway,
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Springer-Verlag.
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Markushevich,
Teoría de funciones analíticas,
Mir.
Palka,
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Phillips, E.G., Funciones de variable compleja, Dossat
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Programa de la asignatura