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Curso 2000-2001
Facultad de Ciencias
Licenciatura en Ciencias Matemáticas

Análisis Complejo

Programa de la asignatura                                        Notas

Bibliografía


Programa de la asignatura

1.      El plano complejo. Propiedades algebraicas, topológicas y geométricas. Esfera de Riemann.

2.      Funciones derivables. Series de potencias. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Función exponencial. Funciones trigonométricas.

3.      Integral de Riemann-Stieltjes. Ecuaciones paramétricas de una curva. Integración sobre caminos. Paso al límite bajo el signo de integral. Teorema de Cauchy en un rectángulo.

4.      Funciones enteras. Teorema de Cauchy para funciones enteras. Fórmula integral de Cauchy. Determinación de funciones analíticas por sus valores en subconjuntos del dominio. Teorema de Liouville. Teorema fundamental del álgebra.

5.      Propiedades locales de las funciones analíticas. Principio del módulo máximo y aplicaciones. Teorema de la aplicación abierta.

6.      Aplicaciones del disco unitario en si mísmo. Lema de Schwarz. Teorema de Morera. Principio de reflexión de Schwarz.

7.      Conexión simple. Teorema de Cauchy en regiones simplemente conexas. Existencia de logaritmos.

8.      Singularidades. Teorema de Cassoratti-Weierstrass. Funciones meromorfas.

9.      Series de Laurent. Singularidades en el infinito.

10.  Cálculo de residuos. Aplicación al cálculo de integrales reales. Suma de series mediante residuos. Principio del argumento.

11.  Teorema de Rouché. Teorema de Hurwitz. Familias normales. Teorema de Montel. Funciones meromorfas en la esfera de Riemann.

12.  Productos infinitos. Teorema de factorización de Weierstrass. Función gama. Función zeta de Riemann.

13.  Teorema del número primo de Hadamard-La Vallée Poussin.

14.  Funciones armónicas y subarmónicas. Núcleo de Poisson. Problema de Dirichlet. Principio de Harnack.  

 Bibliografía

Ahlfors, L. V., Complex Analysis, Mc.Graw-Hill.

Bak, J., Newman, D.J., Complex Analysis, Springer-Verlag.

Conway, J.B., Functions of one complex variable, Springer-Verlag.

Heins, M., Complex Function Theory, Academic Press.

Markushevich, Teoría de funciones analíticas, Mir.

Palka, B.P., An introduccion to complex function theory, Springer-Verlag.

Phillips, E.G., Funciones de variable compleja, Dossat

 


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Bibliografía

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