texto[0]="Test5: Funciones de varias variables. Parte II"; //Título test texto[1]=[10,10,1]; //Números Preguntas del test - Número Preguntas fichero - Ver respuestas texto[2]=[1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5]; //Puntuación //===================== 1 ======================= texto[3]="(P1): La derivada direccional de $f(x,y)=y^3-2x^2y+x$ en el punto $P(1,-1)$ en la dirección que forma con el eje $0X$ positivo un ángulo de $\\frac{\\pi}{3}$ radianes es"; //Enunciado Pregunta 1 texto[4]="${{\\sqrt 3 + 5} \\over 2}$"; //Respuesta correcta siempre la primera texto[5]="$2\\sqrt 3 + {1 \\over 2}$"; texto[6]="${{\\sqrt 3 - 5} \\over 2}$"; texto[7]="Ninguno de las otras respuestas es correcta"; texto[8]="Enhorabuena, la respuesta es correcta"; //Explicación respuesta 1 texto[9]="Lo siento, la respuesta no es correcta"; //Explicación respuesta 1 //===================== 2 ======================= //=============================================== texto[10]="(P2): Considera la superficie dada por $z=f(x,y)=\\mbox{cos}\\, x\\, \\mbox{sen}\\, y$ y el punto $P_0(\\frac{2\\pi}{3},\\frac{-\\pi}{3})$ del plano $XY$. En el punto de la superficie $P(\\frac{2\\pi}{3},\\frac{-\\pi}{3},f(\\frac{2\\pi}{3},\\frac{-\\pi}{3}))$"; //Enunciado Pregunta 2 texto[11]="Un vector normal a la superficie es ${\\bf N}=(\\frac{3}{4},\\frac{-1}{4},-1)$"; //Respuesta correcta siempre la primera texto[12]="El plano tangente es $$\\Pi=\\frac{3}{4}(x-\\frac{2\\pi}{3})-\\frac{1}{4}(y+\\frac{\\pi}{3})+\\frac{\\sqrt{3}}{4}$$"; texto[13]="La expresión del plano tangente y el vector normal son correctos"; texto[14]="Ninguna de las dos es verdadera"; texto[15]="Bien!"; //Explicación respuesta 2 texto[16]="No es correcta la respuesta"; //Explicación respuesta 2 //============================================= //===================== 3 ======================= //=============================================== texto[17]="(P3): Si $z=f(x,y)$ admite primeras derivadas parciales en el punto $(x_0,y_0)$ y $m=D_{\\bf u}f(x_0,y_0)$ denota la derivada direccional en la dirección ${\\bf u}=(u_1,u_2)$, entonces el vector ${\\bf T}=(u_1,u_2,m)$"; //Enunciado Pregunta 3 texto[18]="Está en el plano vertical que pasa por $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ y contiene al vector $(u_1,u_2,0)$"; //Respuesta correcta siempre la primera texto[19]="Es un vector unitario (o de norma uno)"; texto[20]="Las afirmaciones de las opciones en las que se dice que es un vector unitario y en qué plano se encuentra son correctas"; texto[21]="Ninguna de las otras respuestas es cierta"; texto[22]="Bien!!"; //Explicación respuesta 3 texto[23]="Respuesta incorrecta"; //Explicación respuesta 3 //============================================= //===================== 4 ======================= //=============================================== texto[24]="(P4): Si $z=\\log(xy^2+x^2)$, entonces"; //Enunciado Pregunta 4 texto[25]="Las dos opciones en las que se dan valores para las derivadas parciales son correctas"; //Respuesta correcta siempre la primera texto[26]="$z'_x(1,2)=\\frac{6}{5}$, $z'_y(1,2)=\\frac{4}{5}$"; texto[27]="$z''_{xx}(1,2)=\\frac{-26}{25}$, $z''_{xy}(1,2)=\\frac{-4}{25}$, $z''_{yy}(1,2)=\\frac{-6}{25}$"; texto[28]="Ninguna de las opciones en las que se dan expresiones de las derivadas parciales tiene todos sus cálculos correctos"; texto[29]="Bien!!!"; //Explicación respuesta 4 texto[30]="Incorrecto"; //Explicación respuesta 4 //============================================= //============================================= //===================== 5 ======================= //=============================================== texto[31]="(P5): El punto $P(1,-1)$ es"; //Enunciado Pregunta 5 texto[32]="Las dos afirmaciones sobre el tipo de puntos de las funciones dadas son ciertas"; //Respuesta correcta siempre la primera texto[33]="Un punto singular de $f(x,y)=\\sqrt{x+y}$"; texto[34]="Un punto estacionario de $g(x,y)=\\cos(x-y^2)$"; texto[35]="Ninguna de las otras afirmaciones es correcta"; texto[36]="Bien!!!"; //Explicación respuesta 5 texto[37]="Incorrecto"; //Explicación respuesta 5 //============================================= //============================================= //===================== 6 ======================= //=============================================== texto[38]=" (P6): Sea $z=f(u)$ una función derivable dos veces. Si $u=u(x,y)$ admite derivadas parciales y se cumple que $$z'_x=-z'_y=f'(u) \\hspace{1cm} ,\\hspace{1cm} z''_{xx}=z''_{yy}=-z''_{xy}=f''(u)$$ elige una opción posible para $u(x,y)$:"; //Enunciado Pregunta 6 texto[39]="$u=x-y$" //Respuesta correcta siempre la primera texto[40]="$u=x+y$"; texto[41]="Las dos expresiones de u que se dan en las otras opciones son posibles"; texto[42]="Ninguna de las expresiones de u que se da en las otras opciones son posibles"; texto[43]="Bien!!!"; //Explicación respuesta 6 texto[44]="Incorrecto"; //Explicación respuesta 6 //============================================= //============================================= //===================== 7 ======================= //=============================================== texto[45]=" (P7): Si $z=\\frac{x^2-y^2}{xy}$ siendo $x=s-t$ e $y=s+t$, las primeras derivadas parciales de $z$ respecto de $s$ y de $t$ en el punto $(s_0,t_0)=(-2,1)$ son"; //Enunciado Pregunta 7 texto[46]="$z'_s(-2,1)=\\frac{20}{9}$, $z'_t(-2,1)=\\frac{40}{9}$"; //Respuesta correcta siempre la primera texto[47]="$z'_s(-2,1)=\\frac{40}{9}=z'_t(-2,1)$"; texto[48]="$z'_s(-2,1)=\\frac{-20}{9}$, $z'_t(-2,1)=\\frac{20}{9}$"; texto[49]="Ninguna presenta las derivadas parciales correctas."; texto[50]="Bien!!!"; //Explicación respuesta 7 texto[51]="Incorrecto"; //Explicación respuesta 7 //============================================= //============================================= //===================== 8 ======================= //=============================================== texto[52]=" (P8): El determinante de la matriz hessiana o hessiano de $z=\\mbox{tg}(x-y)$ en el punto $P(\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{4})$ es"; //Enunciado Pregunta 8 texto[53]="$|H(\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{4})|=0$"; //Respuesta correcta siempre la primera texto[54]="$|H(\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{4})|=32$"; texto[55]="No se puede hacer el hessiano porque las primeras derivadas parciales de $z$ no son derivables parcialmente de nuevo en ese punto"; texto[56]="Ninguna de las otras respuestas es correcta."; texto[57]="Bien!!!"; //Explicación respuesta 8 texto[58]="Incorrecto"; //Explicación respuesta 8 //============================================= //============================================= //===================== 9 ======================= //=============================================== texto[59]=" (P9): Sea $f(x,y)$ diferenciable en un conjunto $D$ cerrado (contiene a su frontera). Supongamos que $P(a,b)\\in D$ es un punto estacionario de $f(x,y)$, siendo positivo tanto el hessiano de $f$ en $P$ como $f''_{xx}(a,b)$. Además éste es el único punto que verifica estas condiciones, pero existe al menos un punto $Q$ en la frontera de $D$ cumpliendo que $f(Q) < f(P)$. Entonces"; //Respuesta correcta siempre la primera texto[60]="$f(P)$ es un valor mínimo relativo de $f$ en $D$."; texto[61]="$f(P)$ es el valor mínimo absoluto de $f$ en $D$"; texto[62]="$f(Q)$ es el valor mínimo absoluto de $f$ en $D$"; texto[63]="Ninguna de las otras afirmaciones es correcta."; texto[64]="Bien!!!"; //Explicación respuesta 9 texto[65]="Incorrecto"; //Explicación respuesta 9 //============================================= //============================================= //===================== 10 ======================= //=============================================== texto[66]=" (P10): En la siguiente figura puedes ver una muestra de curvas de nivel de una función $f(x,y)$"+ "

"+ "Suponiendo que esta muestra sea suficientemente indicativa del comportamiento de la función,"; texto[67]="El punto $(0,0,f(0,0))$ es un punto de silla o de puerto de $z=f(x,y)$"; texto[68]="La función $f(x,y)$ alcanza un mínimo relativo en el punto $(1,-1)$"; texto[69]="Las dos afirmaciones son correctas "; texto[70]="Ninguna de las otras afirmaciones es correcta."; texto[71]="Bien!!!"; //Explicación respuesta 10 texto[72]="Incorrecto"; //Explicación respuesta 10 //=============================================