Bloque D · Conteo y estructuras espaciales
PREGUNTA D3. Se ha construido un objeto como el de la figura. A partir de un cuadrado central de \(3\times 3\) cubos se añaden cuatro brazos iguales para formar una cruz hasta que en total haya \(2013\) cubos. Una vez construido, se pinta toda la superficie exterior del objeto. ¿Cuántos cubos quedan exactamente con cuatro caras pintadas?
Llamemos \(N\) al número de cubos con exactamente 4 caras pintadas. En total hay \(2013\) cubos.
Observando la cruz de cubos, vemos que solo unos pocos cubos están “demasiado rodeados” por otros como para llegar a tener 4 caras libres:
En total, hay 9 cubos que no alcanzan las 4 caras pintadas. En tu figura, son los que quedarían sin resaltar cuando marcas con círculos naranjas los que sí tienen 4 caras.
Si solo 9 cubos tienen menos de 4 caras pintadas, el resto sí cumplen la condición:
\[ N = 2013 - 9 = 2004. \]
Respuesta: hay 2004 cubos con exactamente cuatro caras pintadas.