ESTALMAT - Ejercicio C4

PREGUNTA C4. Sobre el lado \(AB\) de un pentágono regular \(ABCDE\) hemos construido un rectángulo (sombreado en la figura) de forma que el lado de este rectángulo opuesto a \(AB\) pasa por el centro \(O\) del pentágono. El área del rectángulo sombreado es \(72\ \text{cm}^2\). ¿Cuál es, expresada en \(\text{cm}^2\), el área del pentágono \(ABCDE\)?

Pentágono regular con rectángulo sobre el lado AB

Área del pentágono \(ABCDE\) (en cm²):

Pista:

Imagina que dibujas 5 rectángulos iguales al sombreado, uno sobre cada lado del pentágono.
La altura del rectángulo es la distancia desde un lado al centro: eso se llama apotema del pentágono.
Piensa cómo se puede relacionar el área de esos 5 rectángulos con el área total del pentágono.

Solución razonada (idea visual):

Paso 1 · Qué representa el rectángulo

El rectángulo tiene como base el lado \(AB\) del pentágono y como altura la distancia desde ese lado hasta el centro \(O\). Esa distancia es la apotema del pentágono.

Si llamamos \(L\) a la longitud del lado y \(a\) a la apotema, el área del rectángulo es:

\(\text{Área rectángulo} = L \cdot a = 72.\)

Paso 2 · Descomponer el pentágono en triángulos

Un pentágono regular se puede dividir en 5 triángulos iguales, uniendo el centro \(O\) con los cinco vértices. Cada triángulo tiene:

base \(L\) (uno de los lados del pentágono),
altura \(a\) (la apotema).

Así, el área de uno de esos triángulos es:

\(\text{Área triángulo} = \dfrac{L\cdot a}{2}.\)

Como hay 5 triángulos:

\(\text{Área pentágono} = 5 \cdot \dfrac{L\cdot a}{2} = \dfrac{5}{2}\, L a.\)

Paso 3 · Relacionar con el rectángulo

Ya sabemos que \(L\cdot a = 72\) porque es el área del rectángulo sombreado. Entonces:

\(\text{Área pentágono} = \dfrac{5}{2}\cdot 72 = \dfrac{5\cdot72}{2} = 5\cdot 36 = 180.\)

Respuesta: el área del pentágono \(ABCDE\) es \(180\ \text{cm}^2\).