ESTALMAT - Ejercicio C2

PREGUNTA C2. Hacemos un mosaico con hexágonos regulares. En el centro hay un hexágono con el número 1, alrededor de él una “corona” de hexágonos con el número 2 y, rodeando a éstos, otra corona con el número 3, como en la figura.

Si seguimos ampliando el mosaico y numeramos los hexágonos con la secuencia que muestra la figura, ¿cuántas piezas habrá con el número 6?

Número de hexágonos con el número 6:

Pista:

Cuenta cuántos hexágonos hay con el número 1, cuántos con el 2 y cuántos con el 3.
Piensa cuántos hexágonos formarán la “corona” con el número 4, la del 5, etc.
Intenta encontrar una fórmula que dé el número de piezas de la corona \(n\).

Solución razonada:

Paso 1 · Ver el patrón de coronas

Mirando el dibujo:

Con el número 1 solo hay 1 hexágono (el central).
Con el número 2 hay 6 hexágonos alrededor del 1.
Con el número 3 hay 12 hexágonos formando la siguiente corona.

A partir de la corona del 2, las cantidades son: \[ 6,\; 12,\; 18,\; 24,\; \dots \] Es decir, cada nueva corona añade 6 hexágonos más que la anterior. Es una progresión aritmética de razón 6.

Paso 2 · Expresar el número de piezas de la corona \(n\)

Para el número \(n\ge 2\), la corona con el número \(n\) tiene \[ 6(n-1) \] hexágonos:

Para \(n=2\): \(6(2-1) = 6\) (correcto).
Para \(n=3\): \(6(3-1) = 12\) (correcto).
Para \(n=4\): \(6(4-1) = 18\), etc.

Paso 3 · Aplicar la fórmula a \(n = 6\)

Para la corona con el número 6: \[ 6(6-1) = 6 \cdot 5 = 30. \]

Respuesta: habrá 30 hexágonos con el número 6.