Matrices elementales
 

Se va a justificar en las siguientes páginas cuáles son las razones que permiten realizar y obtener la matriz inversa, su determinante y el rango con el método explicado. Se justificará en primer lugar la fórmula del determinante y la de la inversa, demostrando después que en cada paso o iteración la matriz que se obtiene conserva el rango de la matriz anterior.

En cada paso las operaciones que se realizan con las columnas de la matriz anterior son de tres tipos:

  • intercambiar dos columnas

  • multiplicar una columna por un escalar no nulo (el pivote)

  • sumar a una columna otra multiplicada por una constante.

A estas tres operaciones se les llama operaciones elementales por columnas. La matriz que resulta de realizar estas operaciones sobre la matriz identidad recibe el nombre de matriz elemental. Por lo tanto, hay tres tipos de matrices elementales por columnas:

Resultado de cambiar en la matriz identidad la columna i por la j.

C ij =( 1 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 i ↓ ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 j ↓ ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ) ←i ←j

Resultado de multiplicar en la matriz identidad la columna i por el escalar k.

C i ( k )=( 1 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... 0 ... k ... 0 i ↓ ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 1 ) ←i

Resultado de sumar a la columna i la columna j multiplicada por k.

C ij ( k )=( 1 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 ... k ... 0 i ↓ ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 j ↓ ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ) ←i ←j

 

Observa que realizar una operación elemental sobre una matriz cualquiera A es lo mismo que multiplicar por la derecha por la matriz elemental correspondiente.

Practica con ayuda del