Resultado: Dos sistemas de ecuaciones
Ax=0
y
Bx=0
son equivalentes si y sólo sí
A
B
⊥
=0
y
B
A
⊥
=0
donde
A
⊥
denota la matriz cuyas columnas son un conjunto de generadores del subespacio ortogonal al subespacio vectorial generado por las vectores fila de la matriz
A.
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Ejemplo: Imaginemos los dos sistemas de ecuaciones
siguientes:
3
x
1
+2
x
2
+
x
3
=
6
x
1
−
x
2
−
x
3
=
−1
4
x
1
+
x
2
=
5
2
x
1
+3
x
2
+2
x
3
=
7
que después de añadir la variable artificial se pueden escribir
como:
3
x
1
+2
x
2
+
x
3
−6
x
4
=
0
x
1
−
x
2
−
x
3
+
x
4
=
0
x
4
=
1
4
x
1
+
x
2
−5
x
4
=
0
2
x
1
+3
x
2
+2
x
3
−7
x
4
=
0
x
4
=
1
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Para analizar si los dos sistemas de ecuaciones tienen o
no la misma solución se construyen las matrices
A=(
3
2
1
−6
1
−1
−1
1
)
y
B=(
4
1
0
−5
2
3
2
−7
)
y sus ortogonales asociados
A
⊥
=
B
⊥
=(
1/5
4/5
−4/5
9/5
1
0
0
1
)
Como
A
B
⊥
=(
3
2
1
−6
1
−1
−1
1
)(
1/5
4/5
−4/5
9/5
1
0
0
1
)=(
0
0
0
0
)
B
A
⊥
=(
4
1
0
−5
2
3
2
−7
)(
1/5
4/5
−4/5
9/5
1
0
0
1
)=(
0
0
0
0
)
los dos sistemas son equivalentes.
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Justificación: El resultado anterior es inmediato
si se observa que los subespacios ortogonales
L(
A
⊥
)
y
L(
B
⊥
)
asociados a las
matrices A y B coinciden si y solo sí
A
B
⊥
=0
y
B
A
⊥
=0
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