Se verá ahora cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales usando
conjuntos ortogonales.
Ejemplo: Supóngase que se está interesado en
resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x1−x2+2x3−2x4=33x1−2x2+x4=−1x1−2x3+2x4=1
Para resolverlo se incorpora una nueva
variable artificial x5 y se considera el sistema de ecuaciones equivalente:
x1−x2+2x3−2x4−3x5=03x1−2x2+x4+x5=0x1−2x3+2x4−x5=0x5=1
Este sistema se puede escribir de forma equivalente como: uiT•x=0i=1,2,3,4,5x5=1
donde ahora x tiene 5 componentes y uiT
es la i-ésima fila de UU=(1−12−2−33−201110−22−1)
Por lo tanto, la solución del sistema es el subconjunto del espacio ortogonal a: L{u1T,u2T,u3T} de manera que x5=1.
Se realiza un proceso iterativo de m pasos, siendo m el número
de ecuaciones.
Se comienza con X0≡ℝn+1
donde n es el número de incógnitas del sistema y en cada paso Xp
es el espacio ortogonal a {u1T,...,upT}.
Al final del proceso se obtiene Xm≡L{w1m,...,wnmm} y entonces la solución del sistema inicial es:
w^nmm+L{w^1m,...,w^nm−1m}
donde w^ es el vector obtenido de w suprimiendo su última componente.
Iteración 1
1
1
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
2
0
0
1
0
0
-2
0
0
0
1
0
-3
0
0
0
0
1
1
-1
2
-2
-3
Iteración 2
3
1
1
-2
2
3
-2
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
-3
1
-6
7
0
Iteración 3
1
-2
1
4
-5
-7
0
-3
1
6
-7
-10
-2
0
0
1
0
0
2
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
2
-3
-8
Salida
2
-1
2
1
9
3
-2
3
2
14
1
-1/2
1/2
3/2
4
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
Después de este proceso X3≡L{(1,2,3/2,1,0)T,(9,14,4,0,1)T}. La solución general es por lo tanto, (x1x2x3x4)=(91440)+ρ(123/21)
Importante: Observar que no es necesario obtener el
complemento ortogonal por lo que se puede suprimir la columna
pivote después de cada iteración.