Conjuntos ortogonales

Compatibilidad de un sistema de ecuaciones

El método de ortogonalización también es válido para analizar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones. Se verá en primer lugar un ejemplo.

Ejemplo: Supóngase que se quiere saber en qué condiciones el sistema de ecuaciones siguiente es compatible:

x 1 +2 x 2 + x 4 −4 x 5 =a 2 x 1 + x 2 − x 3 − x 5 =b x 1 +2 x 2 + x 3 + x 5 =c 5 x 1 +2 x 2 −3 x 3 + x 4 + x 5 =d x 1 + x 2 − x 3 + x 4 −5 x 5 =e

Este sistema se puede escribir de la forma: Ux=v donde: U=( 1 2 0 1 −4 2 1 −1 0 −1 1 2 1 0 1 5 2 −3 1 1 1 1 −1 1 −5 ) x=( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) v= ( a b c d e ) . Si este sistema tiene solución entonces existe x * de forma que U x * =v es decir: Ux=v tiene solución ⇔v∈L{ u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 }⇔rango( U )=rango( U:v ) siendo u i el i-ésimo vector columna de la matriz U.

Supóngase que W=( w 1 ,..., w p ) donde L{ w 1 ,..., w p } es el subespacio ortogonal a L{ u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } en ℝ 5 . Entonces v∈L{ u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 }⇔ W T v=0 .

En definitiva: Ux=v tiene solución ⇔ W T v=0

Importante: Para analizar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones utilizando el algoritmo de descomposición ortogonal no se necesita calcular el subespacio complementario por lo que se puede suprimir la columna pivote después de cada iteración.

Iteración 1
1	1	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0
5	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	1
	1	2	1	5	1

Iteración 2
2	-2	-1	-5	-1
1	1	0	0	0
2	0	1	0	0
2	0	0	1	0
1	0	0	0	1
	-3	0	-8	-1

Iteración 3
0	-1	1/3	-1/3
-1	0	-8/3	-1/3
1	1	0	0
-3	0	1	0
-1	0	0	1
	1	-1/3	1

Iteración 4
1	0	-1
0	-8/3	-1/3
0	1/3	2/3
1	1	0
1	0	1
	1	0

Salida
-4	-1
-1	-1/3
1	2/3
1	0
-5	1
	0

Luego, se cumple que L{ ( −1,−1/3,2/3,0,1 ) T } es el ortogonal de L{ u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , lo que implica que la condición para que el sistema sea compatible es que ( −1,−1/3,2/3,0,1 ) T • ( a,b,c,d,e ) T =0⇒3a+b−2c−3e=0

Puede practicar con ayuda del siguiente