Descomposición ortogonal con respecto a un subespacio
Propiedad 3: Aplicando sucesivamente el resultado
último se puede obtener el subespacio ortogonal en un subespacio
dado y su complemento ortogonal en el mismo subespacio.
Por ejemplo, se considera el subespacio vectorial
U=L(u1,u2) donde
u1=(32,1,0)u2=(1,0,1). El subespacio vectorial
ortogonal a U se puede obtener por el método
de pivotaje considerando como generador de ℝ3 los
vectores de la báse canónica.
Iteración 1
3/2
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
3/2
1
0
Iteración 2
1
2/3
-2/3
0
0
0
1
0
1
0
0
1
2/3
-2/3
1
Salida
0
1
-1
1
-3/2
3/2
0
0
1
El subespacio ortogonal a U es el generado por el vector
(−1,32,1)
y el complemento ortogonal es el generado por los vectores (010)y(1-3/20)
Resultado 3.- Considérese ahora el subespacio vectorial L(u1,u2,...,un)
. Se puede usar sucesivamente el resultado 2 para obtener el subespacio ortogonal de L(u1,u2,...,un)
en un subespacio L(V0)
. Sea tij
el producto escalar de uj
y vij
. Entonces suponiendo, sin pérdida de generalidad que tqq−1≠0
se obtiene que L(Vq−1)=L(Vq)
y ademásL(Vq)⊥={v∈V0|u1•v=0...uq•v=0}=L(vq+1q,...,vnq)
donde L(Vq)
y L(Vq)⊥
son el subespacio vectorial transformado y el subespacio ortogonal asociado al paso q-ésimo.