Descomposición ortogonal: Transformacion de pivotaje

 

Propiedad 2: La transformación de pivotaje permite obtener el conjunto ortogonal de un vector u en un subespacio V y su complemento ortogonal en el mismo subespacio.

Por ejemplo, se considera el subespacio   V=L( v 1 1 , v 2 1 , v 3 1 )  con v 1 1 =( 1,0,−1,3 ) v 2 1 =( 2,−1,1,0 ) v 3 1 =( −1,3,0,4 ) y el vector   u=( 3 4 , 5 4 ,− 5 4 ,0 ) .

  1. Se calcula t 1 =u• v 1 1 =2 t 2 =u• v 2 1 =−1 t 3 =u• v 3 1 =3 .

  2. Seguidamente usando la transformación de pivotaje se obtiene el subespacio  W=L( v 1 2 , v 2 2 , v 3 2 ) , siendo v 1 2 = v 1 1 t 1 =( 1 2 ,0,− 1 2 , 3 2 ) v 2 2 = v 2 1 − t 2 t 1 v 2 1 =( 5 2 ,−1, 1 2 , 3 2 ) v 3 2 = v 3 1 − t 3 t 1 v 3 1 =( − 5 2 ,3, 3 2 , −1 2 ) .

  3. Entonces se concluye que el subespacio ortogonal a u en   L( V 1 )  es L( v 2 2 , v 3 2 )=L{ ( 5 2 ,−1, 1 2 , 3 2 ),( − 5 2 ,3, 3 2 ,− 1 2 ) } y su complemento ortogonal L( v 1 2 )=L{ ( 1 2 ,0,− 1 2 , 3 2 ) }

u ↓ v 1 1 ↓ v 2 1 ↓ v 3 1 ↓ 3/4 5/4 −5/4 0 ( 1 0 −1 3 2 −1 1 0 −1 3 0 4 ) productos escalares→ 2 −1 3 transformación → v 1 2 ↓ v 2 2 ↓ v 3 2 ↓ V 2 = ( 1/2 0 −1/2 3/2 5/2 −1 1/2 3/2 −5/2 3 3/2 −1/2 )

Resultado 2.- Sea   L( V 1 )=L{ v 1 1 , v 2 1 ,..., v n 1 }  . Considérese u un vector y   t k =u• v 1 k   los productos escalares de u y   v 1 k . Supóngase que   t 1 ≠0  (en caso contrario se reordenarían los vectores de V1). Considérese L( v 1 2 , v 2 2 ,..., v n 2 ) , el subespacio resultado de realizar la transformación de pivotaje. Entonces el subespacio ortogonal a u en   L( V 1 )  es  L( v 2 2 , v 3 2 ,..., v n 2 )  y su complemento   L( v 1 2 ) . Es decir,

L( V 1 )=L( v 1 2 )⊕L( v 2 2 , v 3 2 ,..., v n 2 )

 

Puede practicar con ayuda del siguiente