Se verán ahora las dos propiedades más importantes de la transformación
de pivotaje.
Propiedad 1.- Transforma el subespacio vectorial generado por las
columnas de una matriz V en sí mismo.
Por ejemplo, el subespacio generado por
V=L(
v
1
1
,
v
2
1
,
v
3
1
)
con
v
1
1
=(
1,0,−1,3
)
v
2
1
=(
2,−1,1,0
)
v
3
1
=(
−1,3,0,4
)
es el mismo que el generado por
W=L(
v
1
2
,
v
2
2
,
v
3
2
)
donde los vectores se obtienen mediante la transformacion de
pivotaje para los números
t
1
=2
t
2
=−1
t
3
=3
, es decir,
v
1
2
=
v
1
1
t
1
=(
1
2
,0,−
1
2
,
3
2
)
v
2
2
=
v
2
1
−
t
2
t
1
v
2
1
=(
5
2
,−1,
1
2
,
3
2
)
v
3
2
=
v
3
1
−
t
3
t
1
v
3
1
=(
−
5
2
,3,
3
2
,
−1
2
)
|
v
1
1
↓
v
2
1
↓
v
3
1
↓
V
1
=
(
1
0
−1
3
2
−1
1
0
−1
3
0
4
)
números→
2
−1
3
transformación
→
v
1
2
↓
v
2
2
↓
v
3
2
↓
V
2
=
(
1/2
0
−1/2
3/2
5/2
−1
1/2
3/2
−5/2
3
3/2
−1/2
)
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Resultado 1.- Sea
L( V
j )=L{
v 1
j , v
2 j ,...,
v n j
}
el subespacio vectorial
generado por el conjunto de vectores
{ v
1 j ,
v 2 j
,..., v
n j }
. Considérese la transformación
de pivotaje y sea
L(
V j+1
)=L{
v 1
j+1
, v
2 j+1
,..., v
n j+1
}
, entonces
L(
V j
)=L(
V
j+1
)
.
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