Se dice que un subespacio vectorial V es suma directa de dos
subespacios U y W, y se denota por
V=U⊕W
si se cumple:
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cada vector v de V se puede escribir de la forma
v=u+w
con
u∈ U
y
v∈V
.
-
U∩W={ 0 }
La intersección de dos subespacios S1 y S2 es el conjunto de
vectores que pertenecen a ambos subespacios.
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Ejemplo: Las siguientes figuras muestran las intersecciones
de los subespacios S1 y S2 en
ℝ
3
La intersección es un subespacio de dimensión
1.
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La intersección es el vector nulo.
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La intersección es el vector 0.
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Se observa que:
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En el primer caso
ℝ
3
no es suma directa de S1 y S2 ya que la intersección no es el vector
0.
-
En el segundo caso
ℝ 3
no
es suma directa de S1 y S2 ya
que la intersección aunque es el vector 0 no se puede descomponer
todo vector de ℝ
3
como suma de un vector
de S1 y otro de S2. Sin embargo,
ℝ 2
sí es suma directa de S1 y S2.
-
En el tercer caso
ℝ
3
es suma directa de S1 y S2
ya que la intersección es el vector 0 y además todo vector
se puede poner como suma de un vector de S1 y otro de S2.
Sea
V⊂
E
n
un subespacio vectorial y u un vector de
E
n
, la descomposición ortogonal de V con respecto a u es:
V=
u
V
⊥
⊕W
donde
u
V
⊥
es el subespacio vectorial ortogonal a u en V y W es su complemento en
V.
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