Subespacios ortogonales

Dos subespacios vectoriales U y V de   E n se dice que son ortogonales si y solamente sí todo vector de U es ortogonal a todo vector de V.

Equivalentemente: si   { u 1 , u 2 ,..., u k } y   { v 1 , v 2 ,..., v p }  son dos vectores generadores de U y V respectivamente, entonces los subespacios son ortogonales si y solamente sí: u i • v j =0; i=1,...,k; j=1,...,p.

Por ejemplo, en   ℝ 3  los subespacios U y V de la figura siguiente son ortogonales (manteniendo pulsado el botón izquierdo del ratón puedes girar el gráfico):

Si u es un vector de  E n   el subespacio ortogonal al vector u es,

u ⊥ ={ v∈ E n |u•v=0 }

es decir, el conjunto de todos los vectores de   E n  ortogonales a u.

Ejemplo.- En   ℝ 3  si se considera el vector u del gráfico siguiente se obtiene que el subespacio ortogonal a u es el plano V.

Si U es un subespacio de  E n   el subespacio ortogonal al subespacio U es,

U ⊥ ={ v∈ E n | u•v=0 ∀u∈U }

es decir, el conjunto de todos los vectores de   E n ortogonales a cada vector de U.

Por ejemplo si S es el supespacio generado por u1 y u2 entonces el subespacio ortogonal a S es el subespacio generado por u.