Espacio euclídeo

Para ver que el algoritmo de pivotaje expuesto nos permite calcular también el rango de una matriz se necesita profundizar un poco más en esta transformación e introducir los conceptos de producto escalar y conjunto ortogonal.

Producto escalar

Un producto escalar o interno en  ℝ n   es una aplicación

ℝ n x ℝ n →ℝ ( x,y )→x•y

que satisface las siguientes propiedades:

  1. No negatividad

  2. Simetría

  3. Linealidad

 

Un ejemplo de producto escalar es el euclídeo

  • Para n=2,  ( x 1 , x 2 )•( y 1 , y 2 )= x 1 y 1 + x 2 y 2

  • Para n=3, ( x 1 , x 2 , x 3 )•( y 1 , y 2 , y 3 )= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 En general  x•y= ∑ i=1 n x i y i

Espacio euclídeo

El espacio vectorial  ℝ n   con el producto escalar euclídeo se conoce como espacio euclídeo n-dimensional y se le denotá por   E n .

El producto escalar permite definir:

  • la norma euclídea ‖ x ‖= ( x•x ) 1/2 = ( ∑ i=1 n x i 2 ) 1/2

  • la distancia entre dos vectores d( x,y )=‖ x−y ‖

  • el ángulo entre dos vectores no nulos:

    cos⁡ϕ= x•y ‖ x ‖‖ y ‖ 0≤ϕ≤π

Puede ver ejemplos de estos conceptos en el siguiente gráfico en el que se considera el espacio euclídeo   ℝ 3 . Cada vez que pulse sobre el botón "Ejemplo" aparecerán vectores u y v diferentes.