Esta ecuación describe la propagación de perturbaciones y vibraciones, como el movimiento de una cuerda. El término \(c\) es la velocidad de propagación de la onda. En este simulador partimos de velocidad inicial nula.
Fórmulas del Caso Actual
⚙️ Inyector de Función Libre
(Usa sintaxis matemática estándar: sen, cos, pi, exp, ^)
💡 Ejemplos Rápidos:
Modelización Matemática
1. Método de Separación de Variables (Solución Analítica)
Paso 1 Suponemos que la solución se puede separar en dos funciones: $$ u(x,t) = X(x)T(t) $$
Paso 2 Sustituimos en la ecuación original \(u_{tt} = c^2 u_{xx}\): $$ X(x)T''(t) = c^2 X''(x)T(t) $$
Paso 3 Separamos las variables, que deben igualarse a una constante \(-\lambda\): $$ \frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda $$
Paso 4 Resolvemos \(X(x)\) con las condiciones de contorno \(X(0)=X(1)=0\): $$ X_n(x) = \sin(n \pi x) \quad \text{con} \quad \lambda_n = (n\pi)^2 $$
Paso 5 Resolvemos la parte temporal \(T''(t) + (cn\pi)^2 T(t) = 0\). Al ser un oscilador armónico con velocidad inicial nula (\(T'(0)=0\)): $$ T_n(t) = \cos(n \pi c t) $$
Tras aplicar el Principio de Superposición, llegamos a la forma general de la onda estacionaria:
Para hallar los coeficientes \(B_n\), evaluamos la solución en el instante inicial \(t=0\). El coseno vale \(1\), por lo que nos queda la posición inicial \(f(x)\):
La curva roja aproxima la PDE discretizando el espacio (\(\Delta x\)) y el tiempo (\(\Delta t\)). Como hay segunda derivada temporal, dependemos del paso anterior \(t-\Delta t\):