Esta ecuación (\( \nabla^2 u = 0 \)) describe la distribución de temperatura en estado estacionario sobre una placa cuadrada plana. Mantenemos 3 bordes a 0º y calentamos el borde superior (y=1). El escáner avanza por el eje Y para mostrar el corte térmico.
Fórmulas del Caso Actual
⚙️ Inyector de Función Libre
(Usa sintaxis matemática estándar: sen, cos, pi, exp, ^)
💡 Ejemplos Rápidos:
Modelización Matemática
1. Método de Separación de Variables (Solución Analítica)
Paso 1 Suponemos que la solución se puede separar en dos funciones espaciales: $$ u(x,y) = X(x)Y(y) $$
Paso 2 Sustituimos en la ecuación original \(\nabla^2 u = 0\): $$ X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0 $$
Paso 3 Separamos las variables, que deben igualarse a una constante \(-\lambda\): $$ \frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = -\lambda $$
Paso 4 Resolvemos \(X(x)\) con las condiciones de contorno \(X(0)=X(1)=0\): $$ X_n(x) = \sin(n \pi x) \quad \text{con} \quad \lambda_n = (n\pi)^2 $$
Paso 5 Resolvemos \(Y(y)\) con \(Y''(y) - (n\pi)^2 Y(y) = 0\). Usamos funciones hiperbólicas. Como \(u(x,0)=0\), entonces \(Y(0)=0\): $$ Y_n(y) = A_n \sinh(n \pi y) $$
Tras aplicar el Principio de Superposición, llegamos a la forma general en estado estacionario:
$$ B_n = \frac{200}{n \pi} \left( \cos(0.3 n \pi) - \cos(0.7 n \pi) \right) $$
Caso: Gradiente Lineal (Suma Parcial)
Temperatura en borde: \(f(x) = 100 x\)
Integrando por partes, obtenemos:
$$ B_n = -200 \frac{\cos(n \pi)}{n \pi} $$
Caso: Función Libre
La temperatura en el borde superior \(f(x)\) y los coeficientes \(B_n\) son los introducidos en el Inyector de Función.
2. Método de Relajación (Solución Numérica)
La curva roja aproxima la PDE usando una malla 2D. La ecuación de Laplace discretizada establece que la temperatura en un punto es el promedio de sus 4 vecinos espaciales:
El simulador aplica el Método de Gauss-Seidel, realizando cientas de "pasadas" por toda la malla hasta que los valores convergen al estado de equilibrio antes de mostrarte la rebanada.