Esta ecuación describe cómo se distribuye la temperatura \(u(x,t)\) a lo largo del tiempo en un medio unidimensional. El término \(\alpha\) es la difusividad térmica, que indica la rapidez con la que el calor se propaga.
Fórmulas del Caso Actual
⚙️ Inyector de Función Libre
(Usa sintaxis matemática estándar: sen, cos, pi, exp, ^)
💡 Ejemplos Rápidos:
Modelización Matemática
1. Método de Separación de Variables (Solución Analítica)
Paso 1 Suponemos que la solución se puede separar en dos funciones, una que depende solo del espacio \(x\) y otra del tiempo \(t\): $$ u(x,t) = X(x)T(t) $$
Paso 2 Sustituimos en la ecuación original \(u_t = \alpha u_{xx}\): $$ X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t) $$
Paso 3 Dividimos entre \(\alpha X(x)T(t)\) para separar las variables a cada lado de la igualdad. Como cada lado depende de una variable distinta, deben ser iguales a una constante \(-\lambda\): $$ \frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda $$
Paso 4 Resolvemos el problema espacial para \(X(x)\) con las condiciones de contorno \(X(0)=X(1)=0\). Esto nos da las autofunciones: $$ X_n(x) = \sin(n \pi x) \quad \text{con} \quad \lambda_n = (n\pi)^2 $$
Paso 5 Resolvemos la parte temporal para \(T(t)\): $$ T_n(t) = e^{-\alpha (n\pi)^2 t} $$
Tras aplicar el Principio de Separación de Variables con derivadas nulas en los extremos (\(X'(0)=0, X'(1)=0\)), obtenemos una Serie de Fourier de Cosenos:
El primer término constante (\(\frac{A_0}{2}\)) representa la temperatura media de la barra. Como la barra está perfectamente aislada, el calor total se conserva. Cuando \( t \to \infty \), todos los exponenciales decaen a cero y la temperatura de toda la barra se homogeniza a ese valor promedio exacto.
$$ A_0 = 2 \int_0^1 f(x) \, dx $$
$$ A_n = 2 \int_0^1 f(x) \cos(n \pi x) \, dx $$
Caso: Coseno (Armónico Fundamental)
Condición inicial: \(f(x) = 100 \cos(\pi x)\)
Temperatura media: \(A_0/2 = 0\). (La mitad está caliente y la otra mitad bajo cero). Todo el calor se cancela y convergerá a 0º.
Coeficientes: \(A_1 = 100 \), \( A_{n>1} = 0 \).
Caso: Bloque Mitad Izquierda
Condición inicial: \(f(x) = 100\) si \(x < 0.5\), \(0\) en el resto.
Temperatura media: \(A_0 = 100 \Rightarrow A_0/2 = 50º\).
Coeficientes: \(A_n = \frac{200}{n \pi} \sin(0.5 n \pi)\)
La temperatura inicial \(f(x)\) y los coeficientes \(B_n\) son los introducidos en el Inyector de Función (calculados numéricamente o usando Algebrite).
2. Diferencias Finitas (Solución Numérica)
La curva roja aproxima la PDE discretizando el espacio (\(\Delta x\)) y el tiempo (\(\Delta t\)).