Esta ecuación describe cómo se distribuye la temperatura \(u(x,t)\) a lo largo del tiempo en un medio unidimensional. El término \(\alpha\) es la difusividad térmica, que indica la rapidez con la que el calor se propaga.
Fórmulas del Caso Actual
⚙️ Inyector de Función Libre
(Usa sintaxis matemática estándar: sen, cos, pi, exp, ^)
💡 Ejemplos Rápidos:
Modelización Matemática
1. Método de Separación de Variables (Solución Analítica)
Paso 1 Suponemos que la solución se puede separar en dos funciones, una que depende solo del espacio \(x\) y otra del tiempo \(t\): $$ u(x,t) = X(x)T(t) $$
Paso 2 Sustituimos en la ecuación original \(u_t = \alpha u_{xx}\): $$ X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t) $$
Paso 3 Dividimos entre \(\alpha X(x)T(t)\) para separar las variables a cada lado de la igualdad. Como cada lado depende de una variable distinta, deben ser iguales a una constante \(-\lambda\): $$ \frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda $$
Paso 4 Resolvemos el problema espacial para \(X(x)\) con las condiciones de contorno \(X(0)=X(1)=0\). Esto nos da las autofunciones: $$ X_n(x) = \sin(n \pi x) \quad \text{con} \quad \lambda_n = (n\pi)^2 $$
Paso 5 Resolvemos la parte temporal para \(T(t)\): $$ T_n(t) = e^{-\alpha (n\pi)^2 t} $$
Tras aplicar el Principio de Superposición (sumar todas las soluciones elementales), llegamos a la forma general de la ecuación:
Para hallar los coeficientes \(B_n\), evaluamos la solución en el instante inicial \(t=0\). Al sustituir \(t=0\), la exponencial vale \(1\), por lo que nos queda la temperatura inicial \(f(x)\):
Esto se reconoce como una Serie del Seno de Fourier. Utilizando las propiedades de ortogonalidad del seno, cada coeficiente \(B_n\) se puede despejar integrando la función:
$$ B_n = 2 \int_0^1 f(x) \sin(n \pi x) \, dx $$
Caso: Campana Senoidal (Solución Exacta)
Temperatura inicial: \(f(x) = 100 \sin(\pi x)\)
Al ser un armónico fundamental, la serie se reduce a:
$$ B_1 = 100 \quad \text{y} \quad B_n = 0 \text{ para } n > 1 $$
$$ B_n = \frac{200}{n \pi} \left( \cos(0.3 n \pi) - \cos(0.7 n \pi) \right) $$
Caso: Rampa Lineal (Suma Parcial)
Temperatura inicial: \(f(x) = 100 x\)
Integrando por partes, obtenemos:
$$ B_n = -200 \frac{\cos(n \pi)}{n \pi} $$
Caso: Función Libre
La temperatura inicial \(f(x)\) y los coeficientes \(B_n\) son los introducidos en el Inyector de Función (calculados numéricamente o usando Algebrite).
2. Diferencias Finitas (Solución Numérica)
La curva roja aproxima la PDE discretizando el espacio (\(\Delta x\)) y el tiempo (\(\Delta t\)).